2. Динамика mеханической системы

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

Задание д-6. Применение теоремы об изменении

кинетического момента к определению

угловой скорости твердого тела

Однородная пластина H массой вращается вокруг верти­кальной оси z с по­стоянной угловой скоростью ; при этом в точке О желоба АВ пластины на расстоянии АО от точки А, от­считываемом вдоль же­лоба, закреплена материальная точка К массой (рис. 23−27). В некоторый момент времени (t = 0) на сис­тему начинает действовать пара сил с моментом . При действие пары сил прекращается и далее пластина враща­ется по инерции с угловой скоростью . В некоторый момент времени 0 ( новое начало отсчета времени) точка К (самоходная тележка) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении к В) по закону ОК .

Определить значения и угловой скорости пластины в моменты времени и , пренебрегая сопротивлениями вращению пластины и массой вертикального вала. Необходимые для решения данные приведены в табл. 4, а требующиеся для расчетов моменты инерции тел – в табл. 5.

Примечание. В таблице 4 знак минус перед и соответствует направлению вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z.

Пример выполнения задания (рис. 28). Дано:

кг; кг; H·м; рад/с; м;

м; с; м; с.

Определить и , счи­тая тело H однородной круг­лой пластиной, а вал ED невесомым.

Решение. Объект исследования – механическая система, состоящая из пластины Н с валом и материальной точки К . Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетического мо­мента механической системы

Рис. 23

Рис. 24

Рис.25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

, (1)

где кинетический мо­мент рассматриваемой системы относительно оси z; − главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно этой оси.

На систему за время от до t = действуют сила тяжести пластины, сила тяжести точки К, пара сил с моментом , а также реакции подпятника Е и подшипника D (рис. 28, а).

Предположим, что вращение пластины Н происходит против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного напра­вления оси z; будем считать это направление вращения положительным при определении знаков кинетических моментов.

Найдем выражение кинетического момента системы, кото-

рый складывается из кинетического момента пластины и кинетического момента точки К, являющегося моментом ее количе­ства движения относительно оси , т. е. .

Момент инерции круглой однородной пластины относительно оси вращения, проходящей через ее центр масс, равен . Тогда кинетический момент пластины .

Материальная точка К, закрепленная в точке О пластины, имеет скорость где − хорда окружности радиуса а, стягивающая дугу длины , поэтому центральный угол и треугольник является равносторонним со стороной, равной (рис. 28, a). Тогда

Таким образом,

.

Главный момент внешних сил равен вращающему моменту , так как остальные силы системы момента относительно оси z не создают.

Уравнение (1), выражающее теорему об изменении кинетического мо­мента, примет вид:

, (2)

где (c = 240 Н·м/с).

В уравнении (2) разделим переменные

и проинтегрируем левую и правую части уравнения в соответствующих пределах

(3)

Из уравнения (3) получим

рад/с.

После прекращения действия момента пластина H вращается по инерции с угловой скоростью ; при этом к системе приложены силы а также реакции подпятника и подшипника

(рис. 28, б).

Те же внешние силы действуют на систему и в течение промежутка времени от до при движении самоходной тележки К.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического мо­мента системы, имеет для этого периода времени вид:

т. е.

Определим значения кинетических моментов при и при и приравняем эти значения.

Для

кг·м²/с.

При >0 скорость точки К складывается из относительной скорости по отношению к пластине H и переносной скорости в движении вместе с пластиной. Поэтому для покажем два вектора количества движения точки: и (рис. 28, б).

В момент времени с , тогда центральный угол , и точка К попадает в точку B пластины, поэтому

(4)

где момент инерции ; расстояние (как гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника ) ; относительная скорость

Тогда при с из выражения (4) получим

.

Приравнивая и , находим:

, откуда рад/с.

Ответ: рад/с; рад/с.

Задание Д-7. Применение теоремы об изменении

кинетической энергии к изучению движения

механической системы

Механическая система под действием сил тяжести приходит в дви­жение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 29 − 33. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1 − 3, 5, 6, 8 − 12, 17 − 23, 28 − 30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6 − 9, 11, 13 − 15, 20, 21, 24, 27, 29), пренебрегая другими силами сопротивления и мас­сами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m₁, m₂, m₃, m₄ − массы тел 1, 2, 3, 4; R₂, r₂, R₃, r₃ − радиусы больших и малых окружностей колес; i_2x, i_3ξ – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры масс; α, β − углы наклона плоскостей к горизонту; f − коэффициент трения сколь­жения;

δ − коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 6. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, счи­тать сплошными однородными дисками. В вариантах 17, 26 и 28 шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень.

Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклон­ным плоскостям.

Пример выполнения задания (рис. 34). Дано: − масса груза 1, , , , r₂ = R₃ = 10 см, α = 60°, f = 0,1, s = 0,05π м. Массой кривошипа (водила) ОС пренебречь. На рис. 34, а показана механическая система в начальном положении.

Найти – скорость груза 1 в положении, соответствующем его перемещению на заданное расстояние .

Решение. Объект исследования – механическая система связанных тел: груз 1, канат, колесо 2 и сателлитный механизм, состоящий

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34

из кривошипа ОС, неподвижного колеса и колес 3, 4 с подвижными осями. Применим теорему об изменении кинетической энер­гии системы:

,

(1)

где и Т — кинетическая энергия системы в начальном и конеч­ном

положениях; и − сумма работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях их точек приложения.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, связанных нерастяжимым канатом,

.

В начальном положении система находится в покое, поэтому Т₀ = 0. Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

.

(2)

Выразим кинетическую энергию рассматриваемой системы через искомую скорость груза 1, а сумму работ внешних сил, приложенных к системе, − через его заданное перемещение .

Кинетическая энергия системы Т в конечном ее положении (рис. 34, б) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2,3, 4:

. (3)

Кинетическая энергия поступательно движущегося груза 1

. (4)

Кинетическая энергия колеса 2, вращающегося вокруг непод­вижной оси Ох,

, (5)

где момент инерции колеса 2 относительно его центральной оси ; − угловая скорость колеса 2.

Скорость точки D колеса 2 равна скорости груза 1, поскольку нить, соединяющая груз и колесо, является нерастяжимой и не скользит по ободу колеса.

Тогда , и выражение для кинетической энергии колеса 2 примет вид:

. (6)

Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоское движение,

, (7)

где скорость центра масс колеса 3; момент инерции колеса относительно его центральной оси как сплошного однородного диска; угловая скорость колеса.

Выразим величины и через скорость . Центр масс колеса 3 совпадает с точкой А кривошипа ОС, жестко связанного с колесом 2 и вращающегося с угловой скоростью , поэтому

. (8)

Так как колесо 3 катится без скольжения по неподвижному контуру, то мгновенный центр скоростей этого колеса находится в точке Р контакта с контуром, следовательно,

. (9)

После подстановки (8) и (9) в выражение (7) получим

.

Таким образом,

. (10)

Для определения кинетической энергии колеса 4 найдем скорость центра масс и угловую скорость этого колеса.

Центр масс колеса 4 совпадает с точкой С кривошипа ОС,

поэтому скорость этого центра равна

. (11)

При этом вектор направлен перпендикулярно кривошипу OC в соответствии с круговой стрелкой .

Скорость точки К контакта колеса 4 с колесом 3

,

то есть по модулю равна скорости и направлена так же , как и вектор . Таким образом, векторы скоростей двух точек и колеса 4, совершающего движение в плоскости, геометрически равны: , откуда следует, что угловая скорость колеса , т. е. оно совершает криволинейное поступательное движение.

Тогда кинетическая энергия колеса 4

. (12)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом выражений (4), (6), (10), (12)

.

Подставляя сюда заданные значения масс, получаем:

. (13)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении. Покажем приложенные к сис­теме внешние силы: силы тяжести груза и колес, нормальную реакцию наклонной плоскости, силу трения скольжения и составляющие , реакции опоры О (рис. 34, б).

Работа силы тяжести

. (14)

Работа нормальной реакции как силы, перпендикулярной перемещению точки ее приложения, равна нулю.

Работа силы трения скольжения

.

Так как

то

. (15)

Работа сил , точка О приложения которых является неподвижной, равна нулю.

Для определения работ сил и найдем угол поворота кривошипа ОС, соответствующий перемещению груза 1. Для этого

выражение для угловой скорости кривошипа

,

с учетом того, что и , приведем к виду

,

откуда получим

.

После интегрирования при нулевых начальных условиях

( ) найдем, что

.

При перемещении груза 1 по наклонной плоскости на расстояние кривошип ОС повернется на угол

и переместится из начального горизонтального положения в вертикальное , а точки А и С приложения сил тяжести и совершат вертикальное перемещение соответственно на высоту

и

.

Работы сил тяжести и при этом составят:

, (16)

. (17)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисленных по формулам (14) − (17):

.

Подставляя исходные данные , получим:

. (18)

Согласно выражению (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (13) и (18):

,

откуда

м/с.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задание Д-8. Исследование поступательного и

вращательного движений твердого тела

Механическая система состоит из механизма (колес 1 и 2) и груза 3.

К колесу 1 механизма приложена пара сил с момен­том (движущий момент) или движущая сила .

Время отсчитывается от некоторого момента (t = 0), в который угол поворота и угловая скорость колеса 1 равны соответственно: , . Момент сил сопротивления вра­щению ведомого колеса 2 равен . Другие силы сопротивления движению системы не учитывать.

Массы колес 1 и 2 механизма − и , а масса поднимаемого груза 3 − .

Радиусы больших и малых окруж­ностей колес 1 и 2:

Схемы механизмов показаны на рис. 35−39, а необходимые для решения данные приведены в табл. 7. Найти уравнение движения тела системы, указанного в последнем столбце табл. 7. Определить

Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

также силы натяжения нитей в заданный момент времени , а в вариантах, где имеется контакт колес 1 и 2, найти, кроме того, окружное усилие в точке их соприкосновения. Колеса 1 и 2, для которых радиусы инерции и относительно их неподвижных осей вращения в табл. 7 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

Пример выполнения задания (рис. 40). Дано: кг; кг; m₃ = 400 кг; Н; Н·м = const; см; см; см; см; рад/с.

Найти уравнение вращательного движения колеса 1 механизма, а также окружное усилие в точке контакта колес 1 и 2 и силу натяжения T нити в момент времени t₁ = 2,5 с (рис. 40, а).

Решение. Рассмотрим в качестве объекта исследования колесо 1 (рис. 40, б), которое находится под действием силы тяжести , движущей силы , составляющих , реакции подшип­ника , а также окружного и радиального усилий со стороны колеса 2.

Дифференциальное уравнение вращения колеса 1

, (1)

где момент инерции колеса относительно его неподвижной оси вращения ; главный момент внешних сил , приложенных к колесу, относительно той же оси .

При составлении учитывается следующее правило знаков моментов: момент движущей силы , приводящий в движение колесо 1, является положительным, а момент силы как момент сопротивления вращению колеса – отрицательным. Тогда

, (2) и дифференциальное уравнение вращения колеса 1 примет вид:

. (3)

Рассмотрим колесо 2 и составим дифференциальное уравнение его вращения вокруг неподвижной оси

(4)

К колесу 2 механизма приложены: сила тяжести , момент сил сопротивления , составляющие , реакции подшипника B , си-

Рис. 40

ла натя­жения нити, к которой подвешен груз 3, а также окружное и радиальное усилия со стороны колеса 1. При этом очевидно:

.

Тогда главный момент внешних сил , приложенных к колесу 2, относительно оси

, (5)

и дифференциальное уравнение (4) примет вид

. (6)

Выразим угловое ускорение колеса 2 через угловое ускорение колеса 1, уравнение вращения которого необходимо определить.

Так как , то ,

и дифференциальное уравнение (6) приобретает вид

. (7)

Теперь рассмотрим в качестве объекта исследования груз 3, движущийся поступательно, и составим дифференциальное уравнение, описывающее его движение:

. (8)

Здесь проекция главного вектора внешних сил, приложенных к грузу 3, на ось , направленную в сторону движения груза, т. е. вверх.

Так как к грузу приложены сила тяжести и сила натяжения нити (очевидно, что , то

,

кроме того, выразив ускорение груза через , получим:

,

что позволяет привести дифференциальное уравнение (8) движения груза к следующему виду:

. (9)

Уравнения (3), (7), (9) составляют систему совместных дифференциальных уравнений

; ; . (10)

В этих уравнениях неизвестны силы S₁ = S₂ = S и , а также угловое ускорение . Исключим сначала , для чего из третьего уравнения этой системы определим

(11)

и подставим во второе:

,

откуда

.

Затем умножим полученное уравнение на , а первое уравнение системы (10) на и, сложив соответствующие части уравнений, получим:

.

Отсюда

. (12 )

Выражение (12) определяет в общем виде угловое ускорение колеса 1.

Учитывая исходные данные, найдем моменты инерции колес 1 и 2 относительно осей и :

кг·м²; кг·м².

Тогда по формуле (12) получим:

рад/с² .

(13)

Интегрируем это уравнение дважды:

;

.

Для определения постоянных интегрирования и начальные условия ( рад/с) подставим в первый и второй интегралы

;

.

Отсюда найдем, что рад/с; , а следовательно, искомое уравнение вращения колеса 1 имеет следующий вид:

(рад). (14)

Окружное усилие определим из уравнения (3):

.

При с угловое ускорение составит

рад/с²,

и тогда

Н.

Силу натяжения нити в заданный момент времени найдем из уравнения (11):

Н.

Ответ: (рад); Н; Н.

Задание Д-9. Исследование плоского движения

твердого тела

Определить максимальную величину постоянной силы , под дей­ствием которой колесо массой катится без скольжения по неподвижной опорной плоскости. Найти также для этого случая уравнение движения центра масс C колеса, если в начальный момент времени координата и скорость центра С равны нулю ( = 0; ). Варианты задания показаны на рис. 41−45, а необходимые для решения данные приведены в табл. 8.

В задании приняты следующие обозначения: − радиус инерции колеса относительно центральной оси, перпендикулярной к его плос­кости; R и r − радиусы большой и малой окружностей колеса;

− коэф­фициент сцепления; δ − коэффициент трения качения.

Колеса, для которых радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными дисками.

Пример выполнения задания (рис. 46). Дано: т = 250 кг;

R = 50 см; r = 25 см; = 40 см; α = 20°; β = 30°; = 0,25; δ = 0,012 м (рис. 46, а).

Решение. Колесо, являющееся объектом исследования, совершает плоское движение, находясь под действием силы тяжести , нормаль­ной реакции опорной плоскости, силы , силы сцепления и момента трения качения (рис. 46, б) .

При составлении дифференциальных уравнений движения колеса следует считать моменты сил и пар сил положительными, если они способствуют вращению колеса. Силу сцепления , когда не ясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону. Действительное направление этой силы устанавливается в процессе решения задачи.

Дифференциальные уравнения плоского движения колеса составляются в форме

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

_{и в рассматриваемом случае имеют вид:}

; (1)

; (2)

. (3)

За положительное направление для моментов принято направление по ходу часовой стрелки, т. е. в ту сторону, куда будет вращаться колесо при движении центра С от оси .

Поскольку ясно, что и , то из уравнения (2) получим

.

Момент трения качения, действующий со стороны опорной плоскости, определяется следующим образом:

.

Поэтому уравнения (1) и (3) содержат четыре неизвестные величины ( и ), и , следовательно, необходимо найти еще одно

соотношение, связывающее эти величины. Для этого учтем, что (так как центр C движется прямолинейно) и что при качении без скольжения в точке К находится мгновенный центр скоростей колеса.

Тогда угловая скорость колеса , а его угловое ускорение . При этом уравнение (3) принимает следующий

Рис. 46

вид

(4)

Для исключения разделим уравнение (1) на (4):

,

откуда

. (5)

Заметим, что выражение (5) дает возможность судить о правиль­ности выбранного направления силы сцепления. Приближение силы P к своему предельному значению (искомой величине) сопровожда­ется, естественно, возрастанием силы сцепления. Поэтому в выра­жении (5), приведенном к виду , коэффициент a должен быть положительным. В нашем случае

т. е. направление силы сцепления на расчетной схеме указано верно.

В противном случае следует изменить направление на противоположное и внести соответствую­щие изменения в дифференциальные уравнения (1) − (3).

Максимальное значение силы сцепления:

).

Подставляя максимальное значение в уравнение (5) , найдем максимальное значение силы , при действии которой колесо катится без скольжения:

или

Н.

Сила сцепления

Н.

Дифференциальное уравнение движения центра колеса

или

,

откуда

м/с².

Дважды интегрируя это дифференциальное уравнение, находим:

Подставляя начальные условия ( ; = 0; в полученные уравнения, определяем значения постоянных интегрирования:

и .

Следовательно, уравнение движения центра колеса

(м).

Ответ: Н ; (м).