Тема 4. Класичне означення ймовірності. Геометричне означення ймовірності. Статистичне означення ймовірності. Теоретичні відомості

Означення. Імовірністю випадкової події А називають невід’ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m ( ), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору :

Р(А)= .

Для неможливої події Р(А)=Р(Ø)=0. Для вірогідної події Р(А) = 1. Отже, для довільної випадкової події .

Приклад 1. Двоє друзів грають у таку гру: одночасно показують на пальцях цифри від 1 до 5. Якщо сума цих цифр парна, то виграє один з них, якщо непарна, то – інший. У якого з друзів ймовірність виграти більша?

Розв’язання.Простір елементарних подій запишемо в вигляді таблиці

1\2	1	2	3	4	5
1	2	3	4	5	6
2	3	4	5	6	7
3	4	5	6	7	8
4	5	6	7	8	9
5	6	7	8	9	10

Простір елементарних подій містить n =25 чисел.

А – сума цифр парна; В – сума цифр непарна. Підраховуючи парні (заштриховані) клітини, одержуємо m=13.

Р(А)= = , Р(В)= . Для першого випадку ( сума цифр парна) ймовірність виграти більша, перший з друзів буде вигравати частіше.

Приклад 2. З чисел від 1 до 30 Юра та Ваня називають по одному. Яка ймовірність того, що вони назвуть два числа, які діляться на 3, на 5?

Розв’язання. За правилом добутку n=30·30=900.

Серед чисел від 1 до 30 десять таких, що діляться на 3, шість таких, що діляться на 5.

А – обидва числа діляться на 3; В – обидва числа діляться на 5.

.

Р(А)= = , Р(В)= .

Приклад 3. З чисел від 1 до 30 Катя повинна вибрати два випадковим чином. Яка ймовірність того, що вони обидва будуть ділитися на 3, на 5?

Розв’язання.

Серед чисел від 1 до 30 десять таких, що діляться на 3, шість таких, що діляться на 5.

Події А – обидва числа діляться на 3; В – обидва числа діляться на 5.

, , ,

.

Р(А)= = , Р(В)= .

Приклад 4. Знайдемо ймовірність вгадати 4 номера в лотореї “Спортлото”: 6 з 36?

Розв’язання. закреслили

Якщо числа замінити буквами, то одержимо загальну схему:

взяли

.

Підставивши, одержуємо

Геометричне означення ймовірності: Якщо простір елементарних подій  можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А – як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин:

Приклад 1. Двоє осіб домовились зустрітися в певному місці у проміжку часу від годин, а також про те, що той, хто прийде першим, чекатиме на другого протягом t годин. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться, якщо кожна особа може прийти у довільний момент часу t є

Розв’язання. Подія А – «зустріч відбудеться». Позначимо довжину часового проміжку а моменти приходу кожної особи – Тоді подія А відбудеться за умови де Зобразимо ці умови на площині в системі координат (рис. 1). Як випливає з рис. 1, часу Т відповідає площа квадрата а події А – площа шестикутника Скориставшись геометричним означенням імовірності, отримаємо:

Приклад 2. На двох суміжних сторонах квадрата з довжиною сторони, що дорівнює 1, навмання взято по точці. Знайти ймовірність того, що відстань між цими точками не перевищить 0,5.

Розв’язання. Подія А – «відстань між двома навмання взятими точками не перевищить 0,5». Позначимо відстань від точок, узятих на сторонах квадрата, до його вершини, що є спільною для цих сторін, через Тоді відстань між зазначеними точками Множина значень для незліченна, причому значення кожної з цих змінних рівноможливі на заданих від- різках. Для обчислення ймовірності скористаємося геометричною інтерпретацією. Як елементарну подію розглядаємо Якщо змінюються в зазначених межах, то множина  є квадратом зі стороною 1. Щоб визначити множину точок для події А, проведемо лінію На рис. 2 подано множину , в якій заштриховано множину точок, що відповідають події А. Мірою кожної з розглядуваних множин є відповідна площа, тому

Рис. 1	Рис. 2