Тема 12. Деякі види розподілів випадкових величин.

Теоретичні відомості

Геометричний закон розподілу ймовірностей

Інколи спроби здійснюють до першої появи випадкової події. Число проведених спроб буде цілочисловою випадковою величиною. Цілочислова випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень

, k = 1, 2, 3, …, n.

Тут p — імовірність появи випадкової події в кожній спробі – є величиною сталою, q = 1 – p.

У табличній формі геометричний закон розподілу такий:

	1	2	3	4	...
					...

При перевірці умови нормування використовується формула суми нескінченної геометричної прогресії, тому й закон розподілу називають геометричним:

Числові характеристики для цього закону:

; ; .

Серед дискретних випадкових величин лише геометричному закону притаманна властивість відсутності післядії. Це означає, що ймовірність появи випадкової події в k-му експерименті не залежить від того, скільки їх з’явилося до k-го, і завжди дорівнює p.

Приклад 1. Гральний кубик підкидається до першої появи цифри 6. Визначити М (Х), D (X),  (Х) для випадкової величини Х числа здійснюваних підкидань.

Розв’язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, що має геометричний закон розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p= ; q= .

; ; .

Приклад 2. Спортсмен стріляє зі спортивної рушниці по одній і тій самій мішені. Імовірність влучити в мішень при одному пострілі є величиною сталою і дорівнює 0,8. Стрільба по мішені ведеться до першого влучення. Визначити М (Х), D (X),  (Х) випадкової величини Х – числа витрачених спортсменом набоїв.

Розв’язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, з геометричним законом розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p=0,8; q=0,2.

Згідно з (245), (246) і (247) маємо:

; ; .

Біноміальний закон розподілу ймовірностей.

Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

Ймовірність того, що при проведенні n випробувань успіх наступить k разів і, відповідно, n-k разів настане невдача дорівнює

,

У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:

	0	1	2	3	...	n
					…

При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

.

Оскільки дана величина є дискретною, то її математичне сподівання обчислюеться за формулою:

=np

Дисперсія біноміально розподіленої випадкової величини:

Приклад 3. У партії однотипних деталей стандартні становлять 95%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Визначити М (Х), D(X), (Х) для дискретної випадкової величини Х – появи числа стандартних деталей серед 400 навмання взятих.

Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу ймовірностей, яка може набувати значення Х = k = 0, 1, 2, ..., 400.

Імовірності можливих значень обчислюються за формулою Бернуллі: , де р = 0,95 – імовірність появи стандартної деталі, q = 1 – p =1 – 0,95 = 0,05 – імовірність появи нестандартної деталі.

Згідно з (235), (236), (237), маємо:

= 400  0,95 = 380;

= 400  0,95  0,05 = 19;

=  4,36.

Приклад 4. У кожному із 100 контейнерів міститься по 8 виробів першого сорту, а решта 2 – браковані. Із кожного контейнера навмання беруть по одному виробу. Визначити М (Х), D (X),  (X) для дискретної випадкової величини Х – поява числа виробів першого сорту серед 100 навмання взятих.

Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу. Із умови задачі маємо:

n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k = 0, 1, 2, 3, ..., 100.

= 100  0,8 = 80; = 100  0,8  0,2 = 16; =  4.

Розподіл Пуассона.

Розподіл Пуасона визначає ймовірність того, що в серії з великої кількості рідкісних випробувань кількість успіхів набувае значення к - параметр розподілу.

У табличній формі цей закон розподілу буде такий:

Х = k	0	1	2	3	…	n
					…

.

- випадкова величина, що має пуассонівський розподіл.

Математичне сподівання

.

.

Дисперсія

.

Рівномірний закон розподілу ймовірностей.

Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:

.

У табличній формі запису рівномірний закон розподілу має вигляд:

	1	2	3	...	n
				…

Умова нормування виконується.

В ипадкова величина X розподілена рівномірно на проміжку має таку густину (щільність) розподілу:

Математичне сподівання .

Д исперсія

Приклад 5. Знайти М (Х), D (X),  (Х), якщо цілочислова ви­падкова величина Х має рівномірний закон розподілу і можливі значення її такі:

.

Розв’язання. За умовою задачі маємо: n = 100, P_k = 1/100.

.

.

Показниковий закон розподілу ймовірності.

Неперервна випадкова величина X має показниковий розподіл із параметром , якщо її густина розподілу ймовірностей дорівнює:

Математичне сподівання

.

.

Дисперсія

.

.

Нормальний закон розподілу ймовірностей.

Нормально розподіленою з параметрами та називається випадкова величина , густина розподілу ймовірностей якої дорівнює:

– < x < ,

Нормальний розподіл з параметрами та , тобто – < x < , називається нормалізованим тобто f(x) = (x) є функцією Гаусса,

Математичне сподівання.

.

Дисперсія

.

.

F(x) = dx.

Графіки f(x), F(x) для загального нормального закону залежно від параметрів а і  зображені на рис. 5 і 6

Рис.5 Рис. 6

Із рис. 5 бачимо, що графік f(x) розміщений симетрично відносно умовно проведеного перпендикуляра в точку Х=а. Зі зміною значень параметра а крива f(x) зміщується праворуч, якщо а>0 або ліворуч, якщо a<0, не змінюючи при цьому своєї форми; f(a)=max, отже, Мо = а.

Із рис. 92 бачимо, що графік F(x) є неспадною функцією, оскільки

f(x)=F(x) > 0 і, як буде доведено далі, F(a) = 0,5.

Отже, Ме=а.

Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а>0 або ліворуч при а<0, не змінюючи при цьому форми кривої.

Отже, для нормального закону Мо=Ме=а.

Зі зміною значень  при а = const змінюється крутизна кривих у околі значень X= а, що унаочнюють рис. 5 і 6.

Рис. 7 Рис. 8

Для нормованого нормального закону графіки функцій f(x), F(x) зображено на рис. 7 і 8.

Рис. 9 Рис. 10

Загальний нормальний закон позначають: N(a; ). Так, наприк­лад, N(–2; 4) – загальний нормальний закон із значенням параметрів а =–2,  = 4.

Нормований нормальний закон позначають N(0; 1).

Формули для обчислення ймовірностей подій: 1) 

Отже, P( ) = .

Отже:

Для (0, 1) формули наберуть такого вигляду: