Тема 8. Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна формули Муавра-Лапласа. Теоретичні відомості

Теорема Пуассона.

Для подій, коли ймовірність успіху мала, тобто , але кількість випробувань , причому вважаеться, що величина – скінчена. Ймовірність одержати m успіхів у цьому випадку дорівнює:

,

де параметр – кількість успіхів, m=0, 1, 2, 3.... Це співвідношення називається формулою Пуассона. Вона дає досить близькі до точних результати, якщо кількість випробувань у серії , а величина . Це критерій використання даної формули.

Приклад 1. В лотереї з 2000 квітків – 2 виграшних. Яка ймовірність того, що серед придбаних 10 квитків більше 3 виграшних?

Розв΄язання: p= 0,001 , m=3

Ймовірність знайдемо через ймовірність протилежної події – “Серед придбаних білетів менше 3 виграшних”.

, , ,

1-(0,135+0,271+0,271+0,18)=0,143

Приклад 1. Завод відправив на базу 1000 доброякісних виробів. За час перебування в дорозі кожний виріб може бути пошкоджено з імовірністю 0,003. Знайти ймовірність того, що на базу прибудуть 3 пошкоджені вироби.

Розв’язання. Якщо подія А – «виріб пошкоджено», то її ймовірність р = 0,003. Розглядається схема незалежних випробувань, n = 1000. Імовірність події А досить мала, тому задачу розв’яжемо за формулою Пуассона:

Виконуючи обчислення, знаходимо:

Локальна формула . Муавра-Лапласа.

У випадку, коли ймовірність успіху в кожному конкретному випробуванні набуває довільного значення (зрозуміло, що в межах від нуля до одиниці), а кількість випробувань велика ( ), застосовують наближену формулу Муавра-Лапласа:

, де .

Для обчислення цого виразу використовують табличні значення функції:

.Тоді .

Оскільки функція парна, то для від’ємних значень беремо .

Приклад 2. Ймовірність події в кожному з випробувань дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 300 випробувань подія з´явиться 260 разів?

Розв΄язання: . Знайдемо значення :

.

По таблиці знаходимо значення , що відповідає цьому значення аргументу . Остаточно знаходимо ймовірність, підставляючи в формулу:

.

Приклад 3. На кожні 40 відштампованих виробів у середньому припадає 4 дефектних. Із усієї продукції навмання узято 400 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них 350 виробів будуть без дефектів.

Розв’язання. Подія А – «узято виріб без дефекту». За умовою Р(А) = р = 0,9. Проведено n = 400 незалежних випробувань. Розв’яжемо задачу за формулою локальної теореми Лапласа: Підставляючи дані за умовою задачі, дістаємо:

За таблицями знаходимо беручи до уваги, що — парна функція.

Отже,

Інтегральна формула Муавра-Лапласа.

У випадку, коли ми шукаємо ймовірність того, що кількість успіхів у випробуванях за схемою Бернуллі лежить у межах від до і кількість випробувань велика, то вдаються до інтегральної формули Муавра-Лапласа.

Теорема. Якщо ймовірність настання успіху в кожному конкретному випробуванні постійна і відмінна від нуля та одиниці , то ймовірність того, що успіх наступить від до разів дорівнює:

,

де , .

Значення функції можна знайти в таблиці. Тому користуємося формулою: .

Для від’ємних значень аргументу, враховуючи що функція непарна, маємо:

.

Приклад 4. У грунт висаджено 600 цибулин тюльпанів, ймовірність проростання кожної з них – 0,9. Знайти ймовірнссть того, шо кількість тюльпанів, що зійдуть, буде не менше 530 і не більше 570.

Розв΄язання: Згідно з умови задачі, .

Спочатку визначимо :

;

.

Знайдемо в таблиці № значення та

, .

Остаточно для шуканої ймовірності

.

Приклад 5. Зерна пшениці проростають з імовірністю 0,95. Знайти ймовірність того, що із 2000 посіяних зерен зійде від 1880 до 1920.

Розв’язання. Подія А – «зерно пшениці зійшло». Її імовірність р = 0,95, кількість незалежних випробувань n = 2000. Застосуємо формулу інтегральної теореми Лапласа:

функція Лапласа, а далі виконаємо обчислення:

Значення функції Лапласа беруться з відповідної таблиці.

Інтегральна формула Муавра-Лапласа може бути зведена до часткового вигляду:

, або ,

де довільне наперед задане число.

Величина відношення кількості успіхів до загальної кількості випробувань – частота появи події. За допомогою інтегральної формули Муавра-Лапласа можна оцінити ймовірність того, що різниця між частотою появи події й істинним значенням імовірності успіху в конкретному випробуванні не більша за наперед задану величину.

Приклад 6. При проростанні насіння встановили, що ймовірність проростання кожної зернини дорівнює 0,8. У грунт висаджено 500 зернин. Знайти межі відхилення частоти сходження зерна від величини ймовірності в кожному конкретному випробуванні, які гарантуються з ймовірністю .

Розв΄язання: Згідно з умови задачі, ; – ймовірність того, що частота сходження буде відрізнятися від величини

( ймовірність успіху ) не більше ніж на , яке потрібно знайти.

, тоді .

З таблиці № знаходимо, що при x=1,96, тобто

, звідки .

Тепер можно сказати, що з імовірністю частота проростання буде лежати в межах: або .

Приклад 7. Верстат-автомат виготовляє стандартну деталь з імовірністю 0,9. Із продукції беруть партію деталей. Скільки деталей має містити партія, щоб з імовірністю 0,9973 можна було стверджувати: у партії відхилення відносної частоти появи нестандартної деталі від імовірності її виготовлення не перевищуватиме 0,03? Визначити можливу кількість нестандартних деталей у партії за даних умов.

Розв’язання. Подія А – «виготовлено нестандартну деталь». Маємо схему з n незалежними випробуваннями, в якій Скористаємося формулою:

За таблицями знаходимо

Визначимо кількість нестандартних деталей у партії за даних умов, розв’язавши нерівність:

Отже, у партії із 900 деталей буде від 63 до 117 нестандартних деталей.