3.2. Ускорение

Ускорение — это вектор, характеризующий изменение величины и направления скорости с течением времени. Среднее <a> и мгновенное a ускорения определяются как:

<a> = v/t, a = lim(∆v/∆t) = dv/dt = d²s/dt², при ∆t → 0. (3.9).

А модуль ускорения a = dv/dt = d²s/dt². (3.10).

Модуль вектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении a = √a_х² +.a²_у . (3.11).

При криволинейном движении вектор полного ускорения целесообразно разложить по двум составляющим — тангенциальному ускорению a_t , направленному по касательной к траектории в сторону изменения скорости, и перпендикулярному нормальному (центростремительному) ускорению a_n , направленному по радиусу к центру траектории.

Рис.13. Касательное и нормальное ускорения.

Полное ускорение будет геометрической суммой тангенциальной и нормальной составляющих a = a_τ + a_n. (3.12).

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости, а нормальное ускорение — за изменение направления скорости. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени: a_τ = dv/dt. (3.13).

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна a_n = v²/R, (3.14).

где R - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Вектор полного ускорения

(3.15).

Его модуль легко найти по теореме Пифагора: a = √a_τ² +.a²_n (3.16).

Дело в том, что и а_τ, и а_n – каждый имеет свою "специализацию": а_τ отвечает за изменение скорости по величине, а а_n отвечает за изменение скорости по направлению. Если скорость тела меняется только по величине и, следовательно, сохраняет свое направление, то, в соответствии с определением скорости, мы имеем дело с прямолинейным движением, и его ускорение будет только тангенциальным: a_τ = dv/dt. (3.17).

Если же скорость меняется лишь по направлению, а ее величина остается постоянной, то при таком криволинейном движении ускорение все равно будет, но оно полностью нормальное a_n = v²/R, (3.18).

и в любой момент направлено к центру кривизны траектории:

3.3. Уравнения движения.

Простейшим видом механического движения является движение тела вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью (равномерное прямолинейное движение ). При равномерном движении тело за равные промежутки времени проходит равные пути. Зависимость координаты x от времени t выражается при равномерном прямолинейном движении линейным математическим уравнением: X (t) = x₀ + vt, (3.19)

где v = const – скорость движения тела, x₀ – координата точки, в которой тело находилось в момент времени t = 0.

Рис. 14. Графики равномерного прямолинейного движения.

На графике закон движения x(t) прямая линия. Чем больше угол α, который образует прямая с осью времени, т.е. чем больше наклон графика, тем больше скорость тела. Скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x(t), так как стороны BC и AC треугольника ABC имеют разные размерности: сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах. a = a_t = a_n = 0; (3.20).

v = const. (3.21).

s = vt. (3.22).

Путь, пройденный телом, можно тоже определить из графика. Т.к. при равномерном прямолинейном движении, s = v_xt, (3.23).

то путь численно равен площади под графиком v_x(t):

Равноускоренным прямо линейным движением называют движение, при котором вектор ускорения a остается неизменным по модулю и направлению. В случае прямолинейного движения векторы скорости v и ускорения a направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость v и ускорение a можно рассматривать в проекциях на направление движения как алгебраические величины. a_n = 0; (3.24).

a = a_t = const. (3.25).

График такой зависимости – отрезок прямой. Его наклон к оси времени говорит о величине ускорения: a_х = tg α. (3.26).

Как и в случае с равномерным движением, площадь под графиком v_х(t) численно равна пути, пройденным телом.

Рис. 15. Графики скорости равноускоренного движения.

Перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = vΔt. (3.27).

Перемещение за время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF. Перемещение s тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t: .s = v₀t + (at²)/2. (3.28).

Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t к начальной координате y₀ прибавляют перемещение за время t:

y = y₀ + v₀t + (at²)/2. (3.29).

График зависимости координаты тела от времени – парабола.

При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной v₀ и конечной v скоростей и ускорения a. s = (v² – v₀²)/2a. (3.30).

Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной скорости v тела, если известны начальная скорость v₀, ускорение a и перемещение s: v = √v₀² + 2as. (3.31).

Если начальная скорость v₀ равна нулю то. s = v²/2a., (3.32).

v = √2as. (3.33).

a_n = 0; (3.34).

a = a_t = const. (3.35).

v = v₀ + at; (3.36).

s = s₀ + v₀t + at²/2,. (3.37).