2.9. Степени свободы. Перемещение.

ПУТЬ. ТРАЕКТОРИЯ.

Число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы.

Пространство трехмерно, и для точки есть три степени свободы поступательного движения, а для твердого тела добавляются еще три степени свободы вращательного движения, т.е. оно имеет шесть степеней свободы.

Р ис.9. Степени свободы. а) 3, б) 5, в) 6.

Перемещение будет определяться разностью конечного и начального радиус-векторов

r = r₂ - r₁, (2.15)

т.е. перемещение это отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим.

Рис. 10. Определение положения точки с помощью координат x = x(t), y = y(t) и z = z(t) и радиус–вектора.r (t), r0 – радиус–вектор положения точки в начальный момент времени.

Перемещение есть векторная величина. Пройденный путь s равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина. При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.

Рис. 11. Траектория и путь.

При этом путь

s= r (2.16)

будет равен сумме всех перемещений. Траектория движения материальной точки — линия, описыва­емая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Для твердого тела добавляются еще три степени свободы вращательного движения, т.е. оно имеет шесть степеней свободы. При движении координаты с течением времени изменяются. Уравнения, характеризующие эти изменения, называются кинематическим уравнениями движения.

Лекция № 3.

3.1. Скорость.

Скоростью движения тела является вектор, характеризующий величину изменения координат тела с течением времени и направление этого изменения. Средней скоростью перемещения называется отношение вектора перемещения к тому промежутку времени, за который это перемещение произошло:

‹‮v› = ∆r/∆t. (3.1)

При координатном способе описания вводятся средние значения проекций скорости ‹‮v_x› = ∆x/∆t. ‹‮v_y› = ∆y/∆t. ‹‮v_z› = ∆z/∆t., (3.2)

Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени. Устремив

t  0, получаем: .v = lim(∆r/∆t) = dr/dt, при ∆t → 0. (3.3).

т.е. вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора r по времени t. Аналогично определяются проекции вектора скорости: v_х = lim(∆х/∆t) = dх/dt, при ∆t → 0. (3.4).

v_у = lim(∆у/∆t) = dу/dt, при ∆t → 0. (3.5).

Рис. 12. Изменение вектора скорости по величине и направлению

∆v = ∆v_τ + ∆v _n – изменение вектора скорости за время ∆t.

Модуль вектора мгновенной скорости легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении .v = √v_х² +.v²_у . (3.6).

Графически мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории движения. Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁ до t₂, дается интегралом s =  v(t)dt. (3.7)

При движении тела по криволинейной траектории его скорость v изменяется по модулю и направлению. Вектор изменения скорости Δv = v₂ – v₁ (3.8)

за малое время Δt можно разложить на две составляющие: Δv_τ направленную вдоль вектора v (касательная), и Δv_n направленную перпендикулярно вектору v (нормальная).