2.4. Производная и интеграл.

Рис. 4. Пример графического дифференцирования.

Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел lim(yx) отношения приращения функции y к приращению аргумента x, когдаx0. обозначается производная –

f^/(x) = df/dx. (2.7)

Геометрически производная функции в точке Х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой У₀. Физический смысл производной, функции определяется физическим смыслом самой функции y и физическим смыслом аргумента x. Неопределенным интегралом для функции f(x) называется совокупность функций F(x), определяемых условием dF(x)/dx = f(x), и записывается в форме

F(x) =  f(x) + C (2.8)

с неопределенной постоянной интегрирования С.

Определенный интеграл от f(x) по интервалу с границами a и b определяется и обозначается:

_a^b f(x)dx = F|_a^b = F(b) - F(a). (2.9).

Рис. 5. Пример графического интегрирования FsiΔsi.

Необходимо отметить, что неопределенный интеграл ФУНКЦИЯ, а определенный интеграл всегда ЧИСЛО.

Операции дифференцирования и интегрирования являются противоположными по действию. Каждая из этих операций может быть выполнена повторно несколько раз, приводя к образам высшего порядка.

Графически функция обычно изображается в виде кривой:

а) производная от этой функции, в конкретной точке на графике определяется тангенсом угла между касательной в данной точке кривой и осью координаты x (t);

б) определенный интеграл от этой функции, в пределах от a до b определяется величиной площади под данной кривой

(в единицах произведения размерности у на размерность х), ограниченной пределами а и b, осью х и кривой.

2.5. Механика.

Механика — это часть физики, изучающая закономерности механического движения и причины вызывающие или изменяющие это движение.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей в пространстве.

Механика Галилея—Ньютона называется классической механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света с в вакууме. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью с, изучаются релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности, сформулированной А. Эйнштейном (1879—1955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы — они заменяются законами китовой механики.

Механика делится на три раздела: I) кинематику; 2) динамику; 3) статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают.

Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменя­ют это движение.

Статика изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.

Для количественного описания механического движения тел вводятся величины, характеризующие пространство в котором тела перемещаются, время в течение которого тела перемещаются и маcса, являющаяся собственным свойством тел.

Характеристикой пространства является ДЛИНА- l, определяемая как геометрическое расстояние между двумя точками в пространстве.

Поскольку пространство наше трехмерно, то положение тела в нем определяется тремя параметрами x, y, z.

ВРЕМЯ - t между двумя событиями в данной точке пространства определяется как разность между показаниями прибора, в основе которого лежит строго периодический и равномерный физический процесс.

Основные задачи механики делятся на прямые и обратные. Прямая – определить законы движения материальной точки, взаимодействующей с другими телами, если известны все силы действующие на нее, ее начальное механическое состояние, т.е. ее положение и скорость в начальный момент времени. Обратная – определить силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, если закон движения известен. Задачи решаются последовательно.

Для прямой – сила → ускорение → скорость → перемещение → координаты

(F → a → v →S → x, y, z ).

Для обратной -- координаты → перемещение → скорость → ускорение сила

(x, y, z →S → v → F).

Механика может быть разделена на разделы по различным характеристикам:

1) по модели;

2) по характеру решаемых задач (кинематика, динамика, статика;

3) по видам движения (поступательное, вращательное).

Механика подразделяется на кинематику и динамику.

Кинематикой называется часть механики, изучающая механическое движение тел без рассмотрения причин, вызывающих это движение.

Динамикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с причинами, вызывающими это движение. Статика – раздел механики, изучающий состояние покоя тел.