13.4. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.

Изохорный процесс (V = const). Диаграмма этого процесса (изохора) в координатах P, V изображается прямой, параллельной оси ординат, где

(1 - 2) - изохорное нагревание, а (1 - 3) - изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т.е. dA = 0. И вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии:

dQ = dU, но dU_m = C_vdT. (13.7.)

Изобарный процесс (p =const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах p, V изображается прямой, параллельной оси V. При таком процессе работа газа при расширении объема от V₁ до V₂ равна

A = òpdV = p(V₂ - V₁). (13.8.)

Из уравнений Менделеева для двух состояний, то

pV₁ = (mRT₁)/m (13.9.)

и

pV₂ = (mRT₂)/m, (13.10.)

откуда

(V₂ - V₁)= [mR(T₂ - T₂)/pm. (13.11.)

Тогда выражение для работы изобарного расширения

А = [mR(T₂ - T₂)]/m. (13.12.)

В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты

dQ = (mC_pdT)/m (13.13.)

его внутренняя энергия возрастает на величину

dU = (mC_vdT)/m. (13.14.)

Отсюда вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R, это работа изобарного расширения 1 моля газа при нагревании его на 1 К^о.

Изотермический процесс (Т = const) описывается законом Бойля-Мариотта: pV = const. Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах p, V представляет собой гиперболу, расположенную на диаграмме тем выше, чем выше температура процесса. Работа изотермического расширения газа равна:

A = _vò^vpdV = _vò^v (mRT/mV)dV =

= mRT/m.ln(V₂/V₁) = mRT/m.ln(p₁/p₂). (13.15.)

Рис. 90. Изотерма и адиабата.

При Т = const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:

dU = mC_vdT/m = 0, и из первого начала термодинамики

(dQ = dU + dA) следует, что для изотермического процесса

dQ = dA, т.е. все теплота, сообщаемая газу, расходуется на совершение работы против внешних сил:

Q = A = mRT/m.ln(p₁/p₂) = mRT/m.ln(V₂/V₁). (13.16.)

Следовательно, для того чтобы при расширении газа его температура не уменьшалась, к нему при изотермическом процессе необходимо подводить количество теплоты, равное внешней работе расширения.

13.5. Адиабатический процесс.

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен

(dQ = 0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процессам можно отнести все быстро протекающие процессы. Например, адиабатическим процессом можно счи­тать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуко­вой волны настолько велика, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает. Адиабатические процессы применяются в двигателях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д.

Из первого начала термодинамики (dQ = dU + dA) для адиабатического процесса следует, что dA = - dU, т.е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы. Для произвольной массы газа

pdV = mC_vdT/m. Продифференцировав pV = mRT/m, получим

pdV +Vdp = mRdT/m. (13.17.)

Исключив Т: (pdV + Vdp)/pdV = - R/C_v = - (C_p - C_v)/C_v. (13.18.)

Разделив переменные и учитывая, что С_p/C_v = g, найдем

dp/p = - g(dV/V). (13.19.)

Интегрируя это уравнение в пределах от р₁ до р₂ и соответственно от V₁ до V₂, а затем потенцируя, получим p₂/p₁ = (V₁/V₂)^g , (13.20.)

или p₁V₁^g = p₂V₂^g . (13.21.)

Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то это выражение можно записать в виде pV^g = const. (13.22.)

(Уравнение Пуассона).

Для перехода к переменным T, V или p, T; используем уравнение Менделеева pV = mRT/m и получим уравнения для давления или объема:

TV^{(g - 1)} = const. Tp^{(1 - g)} = const. (13.23.)

Это уравнения адиабатического процесса, где g называется показателем адиабаты: g = С_p/C_v = c_p/c_v =(i +2)/i. (13.24.)

Диаграмма адиабатического процесса (адиабата) в координатах p, V изображается гиперболой. Работа газа при адиабатическом процессе равна

dA = - C_vdT/m. (13.25.)

Если газ адиабатически расширяется от объема V₁ до V₂, то его температура уменьшается от Т₁ до Т₂ и работа расширения

A = - (mC_v/m)_Tò^TdT = (mC_v)(T₂ - T₁)/m. (13.26.)

Отсюда

A = - (p₁V₁)/(g - 1)[1 - (V₁/V₂)^{(g - 1)}] = (mRT₁)/(g - 1)m[1 - (V₁/V₂) ^{(g - 1)}], (13.27)

где p₁V₁ = mRT₁/m. Работа, совершаемая газом, при адиабатическом расширении (1 — 2), меньше, чем при изотермическом расширении.

Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом расширении температура поддерживается постоянной за счет притока извне теплоты.

Рис 91. Семейства изотерм (красные кривые) и адиабат (синие кривые) идеального газа.