11.3. Энергия поступательного движения молекул газа,

Кинетическая энергия, которой обладают n молекул газа при некоторой температуре Т вследствие своего поступательного движения равна:

W_кин.^пост.= (1/2) m₀v₁² + (1/2) m₀v₂² + = (1/2) m₀(v₁² + v₂² + ). (11.10.)

Или

W_кин.^.= (m₀n/2n)(v₁² + v₂² + ) = (m₀n/2)(v₁² + v₂² + )/n. (11.11.)

Так как (v₁² + v₂² + )/n = <v>², то

W_кин.^пост.= (1/2) m₀<v>². (11.12.)

Из основной формулы кинетической теории следует, что

PV = (1/3) m₀<v>². (11.13.)

Отсюда получим:

W_кин.^пост.= (3/2) PV. (11.14.)

Заменим PV = (m/m)RT и запишем

W_кин.^пост.= (3/2)(m/m)RT. (11.15.)

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной газовой молекулы:

<W_кин.^пост.> = (W_кин.^пост.)/N_A = (3/2)RT/N_A = [(3/2)R/N_A]T. (11.16.)

Так как (R/N_A) = k, то

<W_кин.^пост.> = (3/2)kT. (11.17.)

Давление газа .

p = 1/3(nmv²), (11.18.)

где m — масса молекулы, v — средняя скорость, а n — число молекул в единице объема. Перепишем эту формулу в виде:

p = (2/3)(nmv²/2) = (2/3)ε. (11.19.)

Где ε — средняя кинетическая энергия одной молекулы.

Поскольку n = N/V, получим

pV = (Nm₀<v_кв.>²)/3 (11.20.)

или

pV = [(2Nm₀<v_кв.>²)/2]/3 = (2E)/3, (11.21.)

где Е - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа. Так как масса газа m = Nm₀, то

pV = (m<v_кв.>²)/3. (11.22.)

Для одного моля m = m (m - молярная масса), поэтому

pV_m = (m<v_кв.>²)/3, (11.23.)

где V_m - молярный объем. Но, по уравнению Менделеева, pV_m =RT.

Таким образом,

RT = (m<v_кв.>²)/3, (11.24.)

откуда

<v_кв.> = Ö(3RT)/m. (11.25.)

Поскольку m = m₀N_A, где m₀ - масса одной молекулы, а N_A - постоянная Авогадро, то

<v_кв.> = Ö(3RT)/(m₀N_A) = Ö(3kT)/m₀, (11.26.)

где k = R/N_A - постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия движения одной молекулы идеального газа пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.

<e₀> = E/N = (m₀<v_кв.>²)/2 = (3kT)/2. (11.27.)

Обозначим давление газа при температурах Т₁ и Т₂ буквами р₁ и р₂ а средние кинетические энергии молекул при этих температурах ε₁ и ε₂. В таком случае

P₁ = (2/3)ε₁,

P₂ = (2/3)ε₂ (11.28.)

и

P₁/P₂ = ε₁/ε₂ . (11.29.)

Сравнивая это соотношение с

P₁/P₂ = T₁/T₂ (11.30.)

найдем:

T₁/T₂ = ε₁/ε₂ (11.31.)

Итак, абсолютная температура газа пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа. Так как средняя кинетическая энергия молекул пропорциональна квадрату средней скорости молекул, то наше сопоставление приводит к выводу, что абсолютная температура газа пропорциональна квадрату средней скорости молекул газа и что скорость молекул растет пропорционально корню квадратному из абсолютной температуры. Средние скорости молекул весьма значительны. При комнатной температуре они обычно достигают сотен метров в секунду. В газе средняя скорость движения молекул примерно в полтора раза больше, чем скорость звука в этом же газе. Кажется, что молекулы не могут двигаться с такими большими скоростями: ведь диффузия даже в газах, а тем более в жидкостях, идет сравнительно очень медленно, во всяком случае гораздо медленнее, чем распространяется звук. Дело, однако, в том, что, двигаясь, молекулы очень часто сталкиваются друг с другом и при этом меняют направление своего движения. Вследствие этого они двигаются то в одну, то в другую сторону, в основном толкутся на одном месте. В результате, несмотря на большую скорость движения в промежутках между столкновениями, несмотря на то, что молекулы нигде не задерживаются, они продвигаются в каком-либо определенном направлении довольно медленно.