5.8. Абсолютно неупругий удар.

Это столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Рис. 40. Центральный неупругий удар.

Если массы шаров m₁ и m², и скорости v₁ и v₂, то используя закон сохранения импульса получим m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v (5.29)

откуда v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). (5.30)

Если массы шаров равны (m₁ = m₂), то v = (v₁ + v₂)/2. (5.31)

При абсолютно неупругом ударе часть энергии идет на необратимую деформацию тел. Следовательно, закон сохранения механической энергии в этом случае применять нельзя. Эту часть находят как разность кинетических энергий до и после удара: W = [(m₁v₁²)/2 + (m₂v₂²)/2] - [(m₁ + m₂)v²/2] =

= [(m₁m₂)/2(m₁ + m₂)].(v₁ - v₂)v² . (5.32)

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂ = 0),

v = (m₁v₁)/(m₁ + m₂); W = [(m₂)/(m₁ + m₂)].[m₁v₁²/2]; (5.33)

Когда m₂>>m₁, то v << v₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие виды энергии.

5.9. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п. Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, а скорость станет равной v + dv.

По второму закону Ньютона изменение импульса равно dp = Fdt, (5.34)

и изменение импульса системы dp = mdv + udm, (5.35)

где v - скорость тела, а u - cкорость с которой масса dm покидает основную массу m. Тогда F = dp/dt = m.dv/dt +u.dm/dt. (5.36)

Второе слагаемое в правой части называют реактивной силой Fp. Если u про­тивоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится. Если масса со временем уменьшается (реактивное движение), то изменение массы dm за время dt отрицательно. m.dv/dt= F - u.dm/dt. (5.37). Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы, которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859—1935).

Если u противоположна v, то тело ускоряется, а если u и v одинаковы по направлению, то тело тормозится. Применим это уравнение к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Если для ракеты скорость выбрасываемых газов постоянна, m.dv/dt = - u.dm/dt, (5.38)

откуда v = - udm/m = - u.ln(m) +C. (5.39).

Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m₀, то С = u.ln(m₀). (5.40).

И получим формулу Циолковского для реактивного движения,

v = u.ln(m₀/m). (5.41).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы­валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К. Э. Циолковский (1857—1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отече­ственной космонавтики.

Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m₀; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Лекция № 6.