МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный технологический университет» ЗАРЕЧЕНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ-ФИЛИАЛ ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный технологический университет»

МАТЕМАТИКА

Методические указания

по выполнению контрольной работы

для студентов 2 курса заочного отделения

Заречный 2016

Голянова О.Н.

Математика: методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочного отделения. 2016. – стр.20

Методические указания содержат варианты заданий для контрольной работы по дисциплине «Математика», необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач. Методические указания предназначены для студентов 2 курса заочной формы обучения по специальности 38.02.04 «Коммерция по отраслям» и составлена в соответствии с рабочей программой дисциплины.

Содержание

Тема 1. «Координаты и векторы в пространстве» 4

Задание 1. 4

Задание 2. 5

Задание 3. 5

Задание 4. 7

Задание 5. 7

Задание 6. 8

Тема 2 «Производная» 9

Задание 7. 9

Задание 8. 10

Задание 9. 11

Задание 10. 12

Задание 11. 13

Задание 12. 14

Задание 13. 14

Задание 14. 16

Задание 15. 17

Тема 1. «Координаты и векторы в пространстве»

Задание 1.

Заданы координаты точек А, В и С. Определить вид (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, разносторонний).

Вариант	А	В	С
1	(5, -2, 3)	(1, 2, -1)	(3, 0, 1)
2	(0, 7, 3)	(0, 7, 5)	(1, 8, 5)
3	(4, 2, 1)	(5, 4, 6)	(6, -1, 4)
4	(-5, 2, 0)	(-4, 3, 0)	(-5, 2, -2)
5	(3, 5, 1)	(2, -1 4)	(-1, 3, 2)
6	(-1, 0, -1)	(6, 0, -8)	(-1, 7, -8)
7	(10, 4, 3)	(4, 0, 5)	(7, 2, 4)
8	(2, 3, 4)	(1, 2, -1)	(3, -2, 1)
9	(4, 7, 2)	(1, 2, -1)	(3, -2, 1)
0	(2, 4, 7)	(5, 11, 4)	(6, 7, 1)

Алгоритм решения:

Если А(х₁, у₁, z₁), В(х₂, у₂, z₂), то расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:

Вычислим длины всех сторон треугольника, делаем вывод:

• если все три стороны равны между собой, то заданный треугольник равносторонний;

• если две стороны равны, то треугольник равнобедренный;

• если выполняется равенство АВ² + ВС² = АС² , то треугольник прямоугольный;

• иначе треугольник разносторонний.

Образец решения:

А(4, 1, 0), В(4, 4, 3), С(-2, 1, 6).

Найдем длину каждой стороны треугольника по формуле расстояния между двумя точками:

В данном случае выполняется равенство АВ² + ВС² = АС² (18 + 54 = 72). Значит, ΔАВС – прямоугольный.

Ответ: ΔАВС – прямоугольный

Задание 2.

Даны две точки А и В. Найти координаты точки М – середины отрезка АВ.

Вариант	А	В
1	(5, -2, 3)	(1, 2, -1)
2	(2, 3, 4)	(4, 7, 2)
3	(-2, 4, 6)	(4, 2, 8)
4	(-3, 1, 7)	(5, 7, 3)
5	(8, 2, 5)	(-4, 6, 3)
6	(7, 3, -1)	(5, 9, 7)
7	(-5, 8, 12)	(9, -4, -2)
8	(6, -3, 8)	(4, 7, 2)
9	(9, 1, 7)	(-5, 7, 5)
10	(10, 6, 4)	(2, -2, 6)

Алгоритм решения:

Координаты середины отрезка АВ находим по формулам:

Образец решения:

Даны две точки А(4, 1, 5), В(-2, 3, 7). Найти координаты точки М – середины отрезка АВ.

Ответ: М(1, 2, 6)

Задание 3.

Даны точки А, В, С и D. Найти координаты и длины векторов , , ,

Вариант	А	В	С	D
1	(6, 5, 2)	(5, 4, 6)	(2, 1, 3)	(6, 3, 5)
2	(5, 1, 3)	(-4, 2, 2)	(4, 2, 0)	(-1, 2, 4)
3	(6, 1, -3)	(4, 2, -2)	(4, 1, 0)	(1, 2, -4)
4	(5, -1, 2)	(3, 2, 2)	(4, 3, 1)	(1, 2, 4)
5	(5, 5, 4)	(1, 1, -4)	(-3, 4, 1)	(2, 8, -1)
6	(1, 5, 4)	(-2, 1, 3)	(4, -2, 1)	(1, 2, -1)
7	(3, 5, 1)	(-2, 4, 0)	(1, 7, 5)	(4, 3, -2)
8	(2, 4, 3)	(-1, -1, 5)	(4, 8, 3)	(-3, 6, 7)
9	(-2, 4, -3)	(-5, 7, 1)	(1, -2, -2)	(1, 1, 2)
10	(2, 4, -1)	(-2, -1, 3)	(1, -1, -3)	(3, 2, 4)

Алгоритм решения:

Если заданы координаты точек А(х₁, у₁, z₁), В(х₂, у₂, z₂), то координаты вектора находим по формуле

Длина вектора равна

Образец решения:

А(2, 3, 4) В(1, 2, -1) С(3, -2, 1)

(1 – 2; 2 – 3; -1 – 4) = (-1; -1; -5)

(3 – 2; -2 – 3; 1 – 4) = (1; -5; -3)

(3 – 1; -2 – 2; 1 – (-1)) = (2; -4; 2)

Ответ: (-1; -1; -5),

(1; -5; -3)

(2; -4; 2)

Задание 4.

Даны векторы и . Найти длину вектора

Вариант
1	(3, -2, 5)	(1, 0, 7)
2	(1, 5, 4)	(-2, 1, 5)
3	(-1, 0, 7)	(3, 4, -2)
4	(7, 1, 2)	(2, -1, 3)
5	(3, -2, 1)	(1, 2, -3)
6	(0, 2, 7)	(-2, 1, 4)
7	(3, 4, -2)	(-2, 5, 7)
8	(-3, 4, 1)	(0, 5, -2)
9	(-5, 4, -1)	(0, 1, 2)
10	(3, 0, 5)	(-2, 1, 7)

Алгоритм решения:

Если заданы координаты вектора и , то координаты вектора находим по формуле

Получаем

Образец решения:

З аданы вектора и . Найдем координаты вектора

(24; 10; -6)

Ответ: (24; 10; -6)

Задание 5.

Даны векторы , и . Найти скалярное произведение: а) , б) ,

в)

Вариант
1	(-2, 1, 3)	(2, -2, 4)	(1, 3, -2)
2	(-1, 1, 3)	(2, 0, 1)	(2, 3, 4)
3	(2, 3, -1)	(1, 2, -2)	(-3, 1, 2)
4	(2, 3, 1)	(-1, 2, 1)	(0, 1, 3)
5	(2, 4, 3)	(3, 0, -1)	(-2, 1, 2)
6	(-2, 1, -1)	(1, 2, -2)	(1, 0, 1)
7	(3, -1, 2)	(2, 2, 1)	(1, 0, 2)
8	(-1, -2, 3)	(1, 0, 2)	(3, 4, 1)
9	(-1, 2, 3)	(3, -1, 1)	(-1, -2, 1)
10	(-3, 1, 2)	(3, 1, 2)	(1, 2, -1)

Алгоритм решения:

Если заданы координаты вектора и , то скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

Образец решения:

Заданы вектора , ,

Ответ: ; ;

Задание 6.

Даны точки А, В и С. Найти угол между векторами и

Вариант	А	В	С
1	(1, 0, 2)	(-2, 1, 1)	(4, 0, 2)
2	(-4, 1, 2)	(1, 4, -1)	(2, 2, 1)
3	(-1, 2, 0)	(2, 1, 3)	(0, 2, -2)
4	(1, 2, -3)	(-2, 1, 2)	(4, 2, 1)
5	(4, 2, 3)	(-2, 3, 1)	(4, -1, 0)
6	(3, 0, -1)	(1, 3, 3)	(2, 1, 2)
7	(1, 3, -1)	(3, 1, -1)	(4, 0, 2)
8	(4, 1, 2)	(3, 1, -2)	(3, 2, 4)
9	(-2, 1, 2)	(1, 3, -1)	(2, 4, -1)
10	(2, 1, 2)	(-1, 0, 3)	(3, 1, -3)

Алгоритм решения:

Угол между векторами и находится по формуле

, где - скалярное произведение векторов и ,

и - длины векторов и

Образец решения:

А(-1, 2, 1), В(0, 1, 2), С(3, 0, 1)

1. Находим координаты векторов и

= (-1 – 0, 2 – 1, 1 – 2) = (-1, 1, -1)

= (3 – 0, 0 – 1, 1 – 2) = (3, -1, -1)

2. Находим скалярное произведение векторов

3. Находим длины векторов

3. Находим угол между векторами

Значит,

Ответ: