Фильтры воспроизведения Фильтр Винера

Имеем: Исходное поле вида (15): f(t) =x(t) + n(t), где x(t)  полезный сигнал, а n(t)  помеха.

Известно, что полезный сигнал и помеха имеют разный частотный диапазон, но форма импульса полезного сигнала или помехи – неизвестна.

Предположим, что помеха и сигнал порождаются стационарными случайными процессами. Тогда полезный сигнал x(t) может быть описан ФАК b_x (), которой в спектральной области соответствует осредненный спектр мощности W_x () (b_x()W_x)). Аналогично помеха может быть описана ФАК b_n (t) и b_n ()  W_n ()

Предположим также, что помеха и сигнал не коррелированы, т.е. их ФВК r_x,n = 0.

Найти характеристики фильтра, в наименьшей степени искажающего полезный сигнал, т.е. такие h(t)  H(), что желаемый выходной сигнал s(t) = h(t)  f(t)  x(t).

На выходе фильтра полезный сигнал x(t) преобразуется: y(t) = x(t)  h(t) а помеха: p(t) = n(t)  h(t). Тогда совокупный выходной сигнал можно представить: z(t) = f(t)  h(t) = y(t) + p(t) (31)

В качестве критерия оптимальности фильтра примем модифицированный критерий (16): ² = M(z(t)  s(t))²  min (32)

Для упрощения математических выкладок, не нарушая общности выводов, положим, что x(t), n(t) и, соответственно, h(t), y(t), p(t), z(t) – дискретные числовые последовательности.

Тогда z_i = f_i  h_i = , (33) где n – число значений в операторе фильтра.

Критерий оптимальности (32) примет вид:

² = M[z_i  s_i]² =  min (34)

Для минимизации выражения (34) нужно найти первую производную и приравнять ее нулю. В результате преобразований получим:

: r_f,s (k) = b_f (k-j) (36)

В непрерывной форме уравнение (36) может быть записано как:

r_f,s () = b_f ()d (37)

Выражения (36) и (37) представляют собой уравнение Колмогорова – Винера в непрерывной и дискретной формах (получено А.Н. Колмогоровым, использовано для целей фильтрации Н. Винером; в западной литературе известно как уравнение Винера-Хопфа).

Перепишем уравнение (37) в частотной форме с учетом того, что

• r_f,s ()  G_f,s ()  взаимный спектр мощности сигналов f(t) и s(t);

• h(t)  H();

• b_f ()  W_f ().

G_f,s () = H()W_f () (38)

Если x(t)  X(), а n(t)  N(), то f(t) = x(t) + n(t)  F() = X() + N().

Так как r_f,s (t) = f(t)  s(-t), а s(t)  S() и, соответственно, s(-t)  S^(), то взаимный спектр мощности G_f,s (w) можно представить как

G_f,s (w) = F()S^() = [X() + N()]S^()

В соответствии с условиями задачи s(t) = x(t), т.е. S() = X() и S^*(w) = = X^(), то G_f,s (w) = F()S^() = [X() + N()]Х^( = X()X^*(w) +N(w)×X^*(w). Второе слагаемое в правой части равно нулю, так как ему во временной области соответствует N(w)×X^*(w)  r_x,n (t) = 0. Таким образом:

G_f,s (w) = X(w)×X^*(w) = X()² = W_x ()

Тогда выражение (38) можно записать как W_x (w) = H(w)×W_f (w), откуда следует:

H() = = (39)

Фильтр вида (39) наилучшим образом использует спектральные различия сигнала и помехи:

• там, где доминирует полезный сигнал (т.е. W_x () >> W_n ()) H()  (W_x () / W_x ())  1;

• там, где доминирует помеха (т.е. W_x () << W_n ()) H()  (W_x () / W_n ())  0

Общий выигрыш от применения фильтра Винера ниже, чем при применении фильтра обнаружения (H() = X^*() / W_n ()), где в момент прихода полезного сигнала синфазно складываются все его спектральные составляющие, искажая при этом динамические характеристики сигнала.