Согласованный фильтр

Имеем: зарегистрированное физическое поле вида (15)

f(t) = x(t) + n(t), где x(t) = as₀ (t – t₀) – полезный сигнал с амплитудой а, формой импульса s₀ (t) и моментом прихода полезного сигнала t₀ ; n(t)  случайная стационарная помеха типа «белый шум»:

~ помеха имеет равномерный спектр мощности в полосе частот полезного сигнала W() = const () = c²;

~ радиус корреляции помехи (смещение , при котором ФАК первый раз обращается в 0) равен 0 (т.е. помеха не коррелирована)

Известна  форма импульса полезного сигнала, но неизвестны амплитуда и момент прихода, которые, в конечном итоге, составляют предмет поиска;  функция автокорреляции помехи b_n ().

Найти комплексную частотную характеристику Н() (или импульсную характеристику h(t)) фильтра, максимизирующего отношение (А_с / А_п ).

(согласованный фильтр – частный случай фильтра обнаружения).

Примем за начало отсчета времени момент прихода волны t = t₀ = 0.

_{Из равенства (27) имеем:} H()  _{= (28)}

_{Фильтр с комплексной частотной характеристикой вида (28) называется согласованным, т.к. его временная характеристика с точностью до постоянного множителя (1  с2) полностью определяется формой сигнала. Пренебрегая постоянным множителем (1  с2) будем иметь:}

_{~ в частотной области: H()  S*0(), }

_{~ во временной области: h (t)  s*0(t).  (29)}

_{Известно свойство Фурье-преобразования: при изменении знака аргумента меняется знак фазового спектра, а амплитудно-частотный спектр остается неизменным: S0() = S0() e-j()  S*0() = S0() e+j(),}

следовательно S₀() = S^*₀(), S^*₀() = S₀(-) и из (29) следует h(t) = s₀(-t).

Операция свертки функций u₁ и u₂ по определению:

u₁  u₂ =

Тогда ФВК u₁, u₂ и ФАК u₁ можно выразить через операцию свертки:

и

Сигнал на выходе согласованного фильтра можно представить как:

y(t) = h(t)x(t) = a [h(t)s₀(t)] = a [s₀(t)s₀(-t)],

что с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией автокорреляции:

y(t) = a b_s(t – t₀),

т.е. по отношению к полезному сигналу оптимальный согласованный фильтр осуществляет преобразование, подобное вычислению ФАК.

По отношению к исходному полю (f(t) = x(t) + n(t)) справедливо:

z(t) = f(t)  h(t) = x(t)  h(t) = a b_s(t – t₀) + n(t)  s₀(-t) = a b_s(t – t₀) + r_n,s,

Т.О. оптимальный согласованный фильтр является коррелятором, вычисляя ФАК по отношению к полезному сигналу и ФВК по отношению к помехе.

Определим отношение А_с / А_п на выходе фильтра, воспользовавшись модифицированным выражением (19):  = E_x  W_n() = E_x  c².

По теореме Рейли E_x = a² = a² = a²×E_0, где E₀ – «энергия» импульса формы сигнала.

Тогда  = a²(E₀ c²), т.е. отношение А_с / А_п на выходе согласованного фильтра не зависит от формы импульса полезного сигнала, а лишь от его площади («энергии»). Для увеличения  необходимо либо увеличивать амплитуду полезного сигнала (а), что возможно лишь при увеличении мощности излучаемого сигнала, либо площадь импульса полезного сигнала, что эквивалентно увеличению его длительности.

Для источников с мало изменяемой формой импульса (взрыв, удар и т.п.) согласованный фильтр не имеет преимуществ перед другими фильтрами обнаружения. Картина кардинально меняется при использовании вибросейсмического источника, где энергия излучения прямо зависит от его длительности, которая составляет единицы и даже первые десятки секунд. Согласованный фильтр «стягивает» «размазанную» во времени энергию полезного сигнала к моменту его прихода (t = t₀) и преобразует её в импульсную форму (импульс Клаудера). Кроме того, для вибросейса автоматически выполняется условие известности формы импульса полезного сигнала – в первом приближении его можно считать подобным форме управляющего свип-сигнала.