Оптимальная фильтрация

Частотные фильтры при неограниченных или перекрывающихся спектрах полезных сигналов и помех не оптимальны. Вопрос о построении оптимальных фильтров – наилучшим образом обеспечивающих выделение полезного сигнала на фоне помех – вопрос о задачах (целях) фильтрации и критериях оптимальности.

Критериальный подход

Цели фильтрации зависят от соотношения интенсивностей (амплитуд) полезных сигналов и помех в зонах их интерференции (А_с / А_п ):

• (А_с / А_п )  1 – фильтр должен выявить (обнаружить) полезный сигнал на фоне помех (фильтр обнаружения);

• (А_с / А_п ) > 1 – фильтр должен с минимальными искажениями воспроизвести в заданной форме полезный сигнал (фильтр воспроизведения).

Очевидно, что для построения таких фильтров необходима априорная информация о свойствах сигнала и помехи либо в спектральной области (амплитудно-частотные и фазово-частотные спектры, спектры мощности и т.п.), либо во временной области или пространственной областях (форма импульса, автокорреляционные функции и т.п.).

Предположим, что наблюдаемое геофизическое поле описывается аддитивной моделью: f_i = s_i + n_i (15)

Пусть (А_с / А_п ) > 1

Результатом фильтрации сигнала будет = или y_j = .

Для фильтра воспроизведения целесообразным будет критерий минимального среднеквадратического отклонения выходного сигнала от желаемого , где - любая функция временных или пространственных координат. Отклонение можно представить как _j = y_j  . Тогда критерий min ² , будет:

² =  min (16)

(этот критерий близок к условию МНК).

Пусть (А_с / А_п )  1

Фильтр обнаружения должен максимизировать отношение сигнал/помеха на основе различия их спектральных или корреляционных свойств. Естественным критерием оптимальности фильтра является отношение (А_с / А_п ). Некоторые модификации критерия:

• Пиковое отношение (А_с / А_п ): ₁ = А_{экстрем} / _n (17) где А_{экстрем}  экстремальное значение сигнала; _n  среднеквадратический уровень помехи.

• Отношение средних квадратов: ₂ = (18) где = – здесь m – число значений сигнала; – дисперсия помехи.

• Энергетическое отношение (А_с / А_п ):  = = (19) (эта модификация критерия близка к отношению средних квадратов).

Фильтры обнаружения

В этой категории рассмотрим два фильтра – собственно фильтр обнаружения и согласованный фильтр.

Фильтр обнаружения (фильтр сигналов известной формы)

Имеем: зарегистрированное физическое поле вида (15) – f(t) = x(t) + n(t), где x(t) = as₀ (t – t₀) – полезный сигнал с амплитудой а, формой импульса s₀ (t) и моментом прихода полезного сигнала t₀ ; n(t)  случайная стационарная нормально распределенная центрированная помеха.

Известна  форма импульса полезного сигнала, но неизвестны амплитуда и момент прихода, которые, в конечном итоге, составляют предмет поиска;  функция автокорреляции помехи b_n ().

Найти комплексную частотную характеристику Н() (или импульсную характеристику h(t)) фильтра, максимизирующего отношение (А_с / А_п ).

В качестве критерия оптимальности примем модифицированный критерий (17):

(t) = y²(t) / (p_ср)² где y² (t) – мгновенная мощность выходного сигнала в момент t, (p² )_ср – средняя мощность помехи на выходе фильтра. (т.е. (t) эквивалентно (₁)²).

Временным зависимостям s₀(t), b_n () в спектральной области взаимно соответствуют S₀ () и W_n ().

Упростим ситуацию: предположим, что известна не только форма сигнала s₀ (t), но и амплитуда и момент прихода сигнала, т.е. известен весь сигнал x(t) и, следовательно, X(w). Оператору искомого фильтра h(t) взаимно соответствует h(t)  H() = H() e^{ j()}

Полезный сигнал на выходе фильтра во временной и частотной области можно представить как y(t) = x(t)  h(t)  Y() = X()H() (20)

Помеху на выходе фильтра можно представить как p(t) = n(t)h(t), но по условиям задачи помеха описывается не временной последовательностью n(t), которая меняется от реализации к реализации, а ее устойчивой характеристикой b_n (), которой во временной области на выходе фильтра соответствует b_p (), а в спектральной области – осредненный спектр мощности W_p (). Тогда средняя мощность помехи на выходе фильтра, в соответствии с теоремой Рейли, будет

(p²)_ср = b_p (0) = (21)

Поскольку сигнал f(t) зарегистрирован на некоторый носитель, то за начало отсчета аргумента t можно принять любой момент. Примем t = t₀ = 0 и будем рассматривать

(0) = y²(0) / (p_ср)²

Для уверенного выделения сигнала необходимо максимизировать это отношение, т.е. (0) = max. Максимизация означает, что в момент t = 0 все гармонические составляющие спектра сигнала должны быть синфазны, т.е. y(0) = (22)

Если выразить комплексный спектр полезного сигнала через амплитудно-частотный и фазово-частотный:

X() = X() e^{ j()},

то комплексный спектр полезного сигнала на выходе фильтра будет:

Y(w) = X(w)H(w) = ½X(w)½× e^{- j(w)}½H(w)½×e^{- jy(w)} = =½X(w)½½H(w)½× e^{- j((w) + y(w))}

Синфазное сложение всех спектральных составляющих возможно лишь при нулевом фазовом спектре выходного сигнала: ((w) + y(w)) = 0, т.е. (w) = (w).

Амплитудно-частотную характеристику фильтра выгодно иметь прямо пропорциональной амплитудно-частотной характеристике полезного сигнала X(w) и обратно пропорциональной осредненному спектру мощности помехи W_n (w), т.е.:

H(w) = (23)

Тогда: H(w) = ½H(w)½e^{- jy(w)} = ½H(w)½e^{+ jj(w)}.

С учетом равенства (23): H(w) = e^{+ jj(w)} = (24)

Можно показать, что данный фильтр обеспечивает максимальный выигрыш по критерию оптимальности и обеспечивает подавление рассматриваемой помехи в (p²)_ср раз.

Таким образом, для создания фильтра обнаружения нужно:

• знать амплитудно-частотный спектр сигнала X();

• знать фазово-частотный спектр () для определения комплексно-сопряженного спектра сигнала X^*(w);

• знать осредненный спектр мощности помехи,

в то время как реально известна лишь форма импульса сигнала s₀ (t) и, соответственно, S₀(), т.е. неизвестны а и t₀.

В соответствии с теоремой запаздываний X(w) и S₀(w) связаны соотношением: X(w) = a S₀(w) (26),

где параметр а является только масштабным коэффициентом и его влияние можно скомпенсировать в процессе обработки подбором нормирующего множителя.

Параметр t₀ изменяет значение X(w) и, соответственно, комплексную час­тотную характеристику фильтра: H(w) = = (27)

Его можно отыскать путем последовательного перебора значений t₀ с шагом t₀, величина которого определяет точность значений t₀. Алгоритм поиска сводится к следующему:

Шаг 1: i = 0: положим t₀(i=0) = 0, из равенства (27) определим H_i=0(w); профильтруем этим фильтром зависимость f(t) и зафиксируем результат y_i=0 (t).

Шаг 2: i = 1: изменим параметр t₀: t₀(i) = t₀(i1) + t₀, определим H_i(w); профильтруем f(t) и зафиксируем результат y_i (t).

И так далее…

В ансамбле результатов каждой последовательности y_i (t) соответствует свое значение t₀(i). Отыскивая среди них такие, на которых наблюдается максимальный уровень сигнала с формой импульса s₀ (t), можно определить (с точностью до dt₀) значение t₀.