2.2. Дискретизация сигналов по непрерывному аргументу.

Проблема численного представления характеристик переменных во времени физических полей, используемых в разведочной геофизике, связана с дискретизацией функциональных зависимостей по непрерывному аргументу (времени) является одним из аспектов проблемы приближенного представления функций. Практически она сводится к выбору точек на оси времен, в которых определяются численные значения функции.

Точки могут быть расположены равномерно (равномерное кодирование информации, эквидистантное кодирование) и неравномерно. Рассмотрим первый подход.

Проблема эквидистантного кодирования заключается в выборе шага между точками дискретного представления информации - шага дискретизации (t) с тем, чтобы обеспечить точную передачу (возможность восстановления непрерывной функции по ее дискретным значениям) при минимальном объеме дискретной информации.

Она решается на основе теоремы Котельникова (в западной литературе – теорема отсчётов), сформулированной в терминах теории связи.

Теорема Котельникова.

Функция u(t), допускающая преобразование Фурье и имеющая непрерывный спектр, ограниченный полосой частот О  F_c= _с/2 , полностью определяется дискретным рядом своих значений, взятых через интервалы времени t =l/2F_с.= = (2.6)

Доказательство:

Пусть непрерывной функции u(t) соответствует комплексный спектр S(), т.е. u(t) = (2.7)

Для дискретных моментов времени t_n = = с учётом ограничения выражение (55) можно записать как

u(t_n) = = (2.8)

Положим, что достаточным условием преобразования непрерывного сигнала в дискретный является равенство спектров непрерывной и дискретизированной функций (для последней – в области главного максимума), т.е. S_непрер() = S_дискр() = S().

В силу периодичности спектра дискретной функции его можно разложить в ряд Фурье: S() = , (2.9)

где коэффициент ряда Фурье C_n = (2.10)

Сопоставив интегралы в правых частях выражений (2.8) и (2.10), отметим, что они различаются лишь знаками показателей степени экспоненциальных членов. Обозначим A() = . Тогда выражение (2.8) можно записать как = , откуда следует A() = 2· .

Так как изменение знака аргумента в левой части разложения Фурье приводит к изменению знака показателя степени экспоненты, то выражение (2.10) можно представить как C_n = A(w) = (2.11)

Подставим выражение (2.11) в (2.9

S() = = (2.12)

В соответствии с условием S_непрер() = S_дискр() = S() заменим спектр S(w) в правой части разложения непрерывной функции (2.7) спектром дискретной функции (2.12):

u(t) = или:

u(t) = ,

где u(t) – значение исходной непрерывной функции в момент t, а – отсчёт дискретизированной функции в момент = = = t.

Поменяем порядок интегрирования и суммирования:

u(t) =

Интеграл в правой части является табличный, подставляя его значение в формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла получим так называемый ряд Котельникова:

u(t) = (2.13)

Заменяя круговую частоту временной (F_c) и с учетом того, что t = , получим другую форму записи ряда Котельникова:

u(t) = (2.14)

В левой части выражений (2.13) и (2.14) – исходная непрерывная функция, первый сомножитель по знаком суммы – дискретное значение этой функции в момент t = nt (отсчет функции), второй сомножитель – функция отсчетов, имеющая вид

Физически функция отсчетов представляет собой импульсную реакцию фильтра нижних частот (пропускает все гармонические составляющие сигнала, вплоть до )

Из полученных выражений следует, что для того, чтобы восстановить исходный сигнал u(t) по его дискретным значениям необходимо "включить" ФНЧ с частотой среза F_c:

Теорема Котельникова справедлива для функций с ограниченным спектром. Однако, согласно теореме масштабов, если f(t) соответствует комплексный спектр S(), то f(at) соответствует спектр S(/a), т.е ограниченному спектру соответствует неограниченная функция.

На практике мы имеем дело с функциями ограниченной длительности (то есть неограниченными спектрами). Тем не менее, при большой длительности исходных функций и выборе шага дискретизации t < l/2F_c сигнал по отсчетам восстанавливается с достаточной степенью точности.

Обычно для финитных функций достаточной длительности (десятки видимых периодов) принимают t = l/4F_c, т.е. если F_с=125Гц, то t = l/(4*125) = (1/500)с = 2 мс.

Частота F_N = l/2t называется частотой Найквиста, она характеризует спектральные ограничения, накладываемые на дискретизируемый сигнал. При присутствии в спектре исходного сигнала составляющих выше частоты Найквиста (следствие физической неограниченности спектра) возникают специфические помехи – зеркальные частоты.

Механизм образования зеркальных частот можно уяснить из следующего примера.

Пусть исходный гармонический сигнал с частотой w_о дискретизирован так, что Dt > >(p/w_o). Тогда этим же отсчетам в области главного периода спектра будет соответствовать частота w₁ < w_о – зеркальная частота.

При дискретизации негармонического сигнала зеркальные частоты накладываются на реальные компоненты спектра, искажая его.

Таким образом, в результате дискретизации по времени и квантования по уровням функция непрерывного аргумента u(t) может быть представлена последовательностью отсчетов u_i, где i – номер отсчета, аналог аргумента исходной функции: t = i·t, т.е. значение аргумент хранится косвенным образом (эффект равномерного кодирования).