21

Теоретические основы обработки геофизических данных (материалы к гос.экзамену)

2. Преобразование непрерывных сигналов в дискретные числовые последовательности

Суть преобразования непрерывных сигналов в дискретные числовые последовательности состоит в решении двух проблем:

• выбор точек на оси непрерывного аргумента преобразуемого сигнала, в которых определяются его численные значения (для определённости будем полагать, что сигнал является функцией времени, ось t);

• определение конечных численных значений сигнала в выбранных точках (квантование сигналов по уровням).

2.1. Квантование сигналов по уровням

Преобразование непрерывных функций в дискретные числовые последовательности (табулирование функций) с целью обработки последних на ЭВМ является задачей приближенного представления функций. Суть её в математике формулируется как отображение непрерывного множества значений сигнала на конечное дискретное подмножество того же множества. Решение данной задачи включает в себя:

• классификацию значений преобразуемого сигнала;

• замену каждого из истинных значений значением представителя класса.

Представитель класса называется уровнем квантования.

Возникают следующие проблемы:

• как задать классы?

• как выбрать представителя класса?

• как определить меру близости непрерывного и квантованного сигналов?

Задание классов – задание правил отображения () непрерывного множества X(t) на дискретное подмножество Х*, т.е. : Х → Х*, где Х* = {x₁, x₂, … , x_m}, а x₁ ÷ x_m  множество границ, разделяющих классы. Пусть х  Х(t) изменяется в интервале ( < x < ). Тогда классы (C_i) определяются следующим образом:

C₀ = (, x₁)

C₁ = (x₁, x₂)



C_m = (x₁, )

Если некоторое значение исходного сигнала х Î Х(t) попадает в класс C_i , т.е. (x_i < x < x_i+1), то истинное значение заменяется на некоторое y_i Î (x_i, x_i+1), где y_i – уровень квантования класса C_i .

Интервал (x_i+1  x_i) = _i называется шагом квантования. Очень часто используются классы с постоянным шагом: D_i = D = const (i)

О мере близости исходного и квантованного сигналов.

Замена истинных значений сигнала на значения уровней квантования приводит к появлению ошибки квантования  = y_i  x, где x – ошибка квантования (шум квантования). На рисунке показано разбиение области значений X(t) на классы с постоянным шагом. За уровень квантования принята нижняя граница класса. В результате квантования по уровням плавная непрерывная кривая преобразуется в ступенчатую линию. На нижнем графике представлена кривая шума квантования. Очевидно, что предельная величина

о шибки квантования не может быть больше .

Квантованный сигнал можно представить как Y(t) = X(t) + x(t).

За меру близости сигналов X(t) и Y(t) можно взять среднюю мощность шума квантования: W = M {² (t)} (2.1) Очевидно, что чем меньше значение W – тем меньше влияние шума квантования. В качестве объективного критерия близости сигналов X(t) и Y(t) принять: W = M {² (t)}  ɛ² , где ɛ - некоторая наперёд заданная величин, обусловленная требованиями к точности квантования (соотнесите с Н_ɛ в выражении (1.47))

При прочих равных условиях на величину W влияет выбор положения уровня квантования внутри соответствующего интервала. Определим, при каком его положении обеспечивается минимальный уровень шума квкнтования.

Пусть x(t) – шум, порождённый квантованием стационарного случайного сигнала X(t), есть стационарный случайный процесс. Пусть ) при x, находящемся в интервале (x_i, x_i+1), одномерная плотность его распределения вероятностей есть f(xǀy_i). Тогда условная мощность шума квантования будет:

w(y_i) = (2.2)

Отыскивая экстремум функции w(y_i), т.е. решая уравнение = 0, можно найти положение , при котором w(y_i) = min. При достаточно малых _i = ( x_i+1  x_i) распределение f(xǀy_i) в соответствии с особенностями приведенной энтропии (п. 3) будет близко к равномерному:

f(xǀy_i) = (2.3)

Подставим в выражение (2.2) значение f(xǀy_i) = (для интервала (x_i, x_i+1)) w(y_i) =

Интеграл в правой части равенства является табличным, значение определённого интеграла вычислим по известной формуле Ньютона-Лейбница:

w(y_i) = = =

=

Раскрывая скобки и приводя к общему знаменателю после сокращений подобных членов получим:

w(y_i) =

Вычисляя первую производную средней мощности шума квантования по переменной и приравнивая её нулю получим:

= ,

откуда следует, что минимальный уровень шума квантования будет при = (2.4)

(уровень квантования следует выбирать в середине класса)

Нетрудно показать, что при постоянном шаге D_i = const (i) и выборе уровня квантования на середине класса средняя мощность шума квантования будет: w = . (2.5)

Применительно к определениям численных значений параметров какого-либо непрерывного поля измерительными приборами типа гравиметров, магнитометров и т.п., проблема квантования по уровням сводится к обеспечению нужной чувствительности прибора, требуемого динамического диапазона и цены деления шкалы прибора.