3.3. Получение расчетных уравнений (общий случай)

В соответствии с методом В.З. Власова функции перемещений и ищем в виде следующих рядов:

; . (3.3)

Здесь функции и , называемые аппроксимирующими, выбираются с учетом условий нагружения и закрепления панели, а функции и подлежат определению в процессе решения задачи. Так как задача решается в перемещениях, то выбираемые функции должны быть непрерывными и должны удовлетворять геометрическим граничным условиям, если таковые имеются.

Примем физические уравнения в следующем виде:

для ортотропной пластины

(3.4)

для подкрепляющих элементов

.

Здесь  средние значения упругих констант пластины, вычисление которых приведено в [1]; и  модуль упругости и площадь поперечного сечения подкрепляющих элементов.

Учтем, что усилия и жесткости в пластине

; ; ; . (3.5)

Подставляя в (3.4) и (3.5) формулы для перемещений (3.3) и полученные выражения в (3.1) и (3.2), запишем полную энергию Э в виде

. (3.6)

Так как функции , известны, то полная энергия превратится в следующий функционал:

.

Минимум этого функционала в соответствии с принципом Лагранжа будет реализовываться уравнениями ЭйлераЛагранжа, которые являются по физическому смыслу уравнениями равновесия:

; (3.7)

, (3.8)

а естественные граничные условия представляют обобщенные статические граничные условия

и . (3.9)

Здесь и содержат слагаемые внешних нагрузок, входящие в работу внешних сил (3.2).

Уравнения равновесия в перемещениях с использованием соотношений (3.7) и (3.8) в каноническом виде записываются как

; (3.10)

, (3.11)

где коэффициенты уравнений равновесия имеют вид

(3.12)

и учитывают все плоские формы деформации обшивки. Здесь  полная ширина панели, продольная ось делит панель пополам , а естественные граничные условия (3.9) запишутся как

; (3.13)

, (3.14)

где и  реакция поперечного силового элемента от действующих на него сил; n  нормаль к поверхности на рассматриваемой границе.

Решение канонической системы уравнений равновесия в общем случае нагружения и граничных условий чаще всего связано с математическими трудностями. Класс задач можно существенно расширить и упростить решение, если это решение представлять в симметричной или кососимметричной форме. Для плоских панелей естественно рассматривать задачи чистого растяжения и задачи поперечного изгиба отдельно. Необходимо оговорить, что конструкция тоже отвечает этим же условиям. Чаще всего рассматриваемые конструкции обладают продольной симметрией формы, что и позволяет общие задачи разлагать на простые составляющие и использовать одни и те же математические функции для решения. Кроме того, с помощью ортогонализации выбираемых функций и можно добиться того, что некоторые необходимые коэффициенты уравнений равновесия будут равны нулю, а решение системы существенно упростится. Аналитическое решение системы (3.10) и (3.11) возможно, если число выбираемых функций не больше четырех.

Рассмотрим выбор расчетных функций и их систематизацию с учетом представляемых задач.