3(112). Нехай маятник м ру­хається з точки 1, тоді в точці 2 він буде через час

(1)

де — період коливань маятника, - ціле число. Швидкість маятника в положенні рівноваги (точка 2) дорівнює:

(2)

Під час абсолютного непружного удару в точці 2 зовнішні сили відсутні. Запишемо закон збереження імпульсу по ОХ.

(153)

- після удару рух по ОХ відсутній, (рух кульки по ОХ - рівномірний).

Із умови, що кулька потрапляє в точку 2 маємо:

(4)

(5)

Із рівнянь (1)-(4) отримаймо умову потрапляння кульки у маятник :

Звідси

(6)

З (4) і (5) маємо:

(7)

- кут кидання кульки за умови (6).

З (4) і (5) маємо:

Звідси (врахувавши (1) і (6)), отримаймо:

4(113). Крапля ртуті маленька, це означає, що до розпливання краплини її поверхнева енергія мала і електрична енергія

мала ( , ).

Нехай при напрузі краплина розплилась і утворила плівку площею . Поверхнева енергія плівки дорівнює

(1)

Енергія зарядженого конденсатора дорівнює:

(2)

Через джерело пройшов заряд

(3)

Запишемо закон збереження енергії:

Звідси

Підставмо в це рівняння (1), (2) і (3) і отримаймо:

5(114). Коефіцієнт корисної дії реактивного двигуна виз­начимо, як відношення кіне­тичної енергії струменя газу (К) до кількості теплоти отри­маної газом :

(1)

Оскільки газ отримує енергію у камері згорання, можна вважати, що процес відбувається при сталому тискові.

(2)

- молярна теплоємність при сталому тискові. Для визначення кінетичної енергії струменя розгляньмо витікання газу з coпла двигуна.

Вважаймо процес витікання ламінарним (постійний у часі) і розгляньмо трубку течії (див. рис.) обмежену двома перерізами (1 і 2) і бічними стінками (трубка довільних розмірів). На газ обмежений цією трубкою діють сили тиску на переріз 1 . напереріз 2 і сили на бічну стінку (ця сила роботи над газом не виконує). Дія цих сил на газ упродовж невеликого інтервалу часу приводить до зміни положення і енергії газу (нове) положення перерізи 1' і 2'). Робота зовнішніх сил над газом дорівнює зміні енергії газу:

(3)

Зміни, що відбулися з газом найпростіше розглядати як переміщення об’єму в об’єм (в інших ділянках змін немає). Робота над газом:

(4)

Для об’ємів і маємо:

(5)

(6)

Підставмо (5) і (6) у (4):

(7)

(8)

- зміна внутрішньої енергії газу,

(9)

- зміна кінетичної енергії газу.

Рівняння (7), (8) і (9) підставмо в (3):

звідки

(10)

(10) і (2) підставмо в (1):

(11)

Вираз для коефіцієнта корисної дії цього реактивного двигуна збігається з виразом для коефіцієнта корисної дії ідеального теплового двигуна, що працює за циклом Карно.

Для визначення скористаймось рівнянням адіабати (за умовою процес адіабатичний)

враховуючи, що

отримаймо: , звідси

(12)

Скористаймось рівнянням (12):

звідси

(13)

(13) підставмо в (11):

Швидкість газу визначимо з (1)

звідки

- теплота, що виділяється при згорянні 1 кг палива.

2002

1(115). Із умови задачі випливає:

З рівняння Менделеєва-Клапейрона:

для одного моля:

За першим законом термодинаміки

знайдемо роботу газу як площу „трапеції”, оскільки тиск пропор­ційний об’єму .

Зауважмо що:

тоді

тобто

a

Тоді

отже

2(116). Вважатимемо „корисною при роботі морозильника ту кількість теплоти, що відбирається від „холодильника” , а „затраченою” - ту, чка зумовлена використанням електричної енергії морозильником - . Отже, можемо ввести величину - коефіцієнт корисної дії холодильника

Також використовується таке поняття, як холодильний коефіцієнт

Знайдемо ККД. Очевидно, що, оскільки треба забирати з холодильника ту кількість теплоти, що потрапляє крізь стінки, тобто , то .

Морозильник споживає за цей час енергію , з якої кіль­кість піде на виконання роботи холодильником. Оскільки процес, який здійснюється з газом, є цикл Карно, то маємо

де і .

Тоді:

3(117). Максимальна кількість теплоти виділиться за умови, що кубик пройде максимальну відстань відносно транспортера. Для цього потрібно, щоб біля ролика А швидкість кубика відносно землі Дорівнювала нулеві (рис. 1).

Початкова швидкість відносно землі, яку має при цьому мати кубик, визначається умовами:

та

де - прискорення, надане кубику силою тертя.

Звідси,

Час руху кубика по стрічці транспортера до ролика А

До зупинки кубик пройде по стрічці шлях

Далі кубик почне рухатися рівноприскоренно вправо. Інтервал часу, через який припиниться проковзування, дорівнює

За цей час відносно землі кубик переміститься на відстань

Оскільки за умовою задачі , то за час кубик не сповзе з транспортера, тобто .

Шлях, який за цей час пройде кубик відносно стрічки транспортера, дорівнює:

Повний шлях кубика відносно стрічки транспортера:

Кількість теплоти, яка виділиться за рахунок роботи сили тертя дорівнює

Задачу можна розв’язати й інакше. Розглянемо рух у системі координат, швидкість якої відносно землі дорівнює і направлена в той самий бік, що й швидкість верхньої стрічки транспортера (тобто від точки А до точки В на рис. 1). Нехай у момент початку руху кубика точка В співпадає з початком координат.

На рис. 2 зображено графіки руху точок А і В (нерухомих відносно землі) вздовж вісі X, спрямованої вліво (від точки В до точки А). Графік руху кубика буде параболою:

де - початкова швидкість кубика, - прискорення, якого на­дає кубику сила тертя ( змінюється від до певного моменту , яке відповідає зупинці кубика відносно стрічки транспортера).

Максимальна кількість теплоти виділиться за умови, що за час гальмування кубика шлях, пройдений ним буде максимально можливим і при цьому кубик не злетить із стрічки транспортера. Отже графіку руху кубика - парабола, яка дотикається у певний момент до прямої , вершина параболи лежить вище прямої , тобто .

Умова дотикання

звідси

Шлях гальмування дорівнює

Час гальмування

За цей час точка В пройде шлях

За умовою задачі , отже , тобто .

Максимальну кількість теплоти знайдемо із закону збереження енергії: