Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vseukrajinski_olimpiadi.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

2(86). Положення заряду, відносно центру в будь-який момент часу визначається формулою (гармонічні коливання):

( – амплітуда)

Очевидно, що на сфері індукуватиметься (дія заряду ) деякий заряд (в цьому випадку від’ємний). Знайдемо цей заряд для кожного конкретного положення заряду , для (розглянемо тільки , оскільки, коли заряд знаходиться всередині опори, то заряд, що індукується на сфері не змінюватиметься і струм дорівнюватиме нулеві).

Оскільки сфера заземлена, її потенціал у всіх точках на поверхні і всередині .

Найзручніше розраховувати потенціал у центрі сфери.

звідси

Враховуючи, що:

маємо

визначимо струм:

Розглядати коливання можна за (далі все повторюватиметься), при , :

звідси

або

Отже, в інтервалах , ;

при

На графіку це можна зобразити так:

3(87). Початкова швидкість крейди дорівнює нулеві. Впавши на транспортер і накресливши лінію, крейда набула швидкості стрічки. Цю швидкість крейда набула в результаті виконання роботи силою тертя.

Отже:

де - коефіцієнт тертя крейди,

Розгляньмо гальмування стрічки:

(Система відліку пов’язана із стрічкою — неінерціальна система відліку).

Час гальмування стрічки:

Відстань, яку пройде крейда під час гальмування стрічки відносно неї можна порахувати так:

(другий закон Ньютона).

Швидкість крейди після зупинки стрічки:

Відстань, яку пройде крейда до повної зупинки з моменту, коли стрічка повністю загальмує (інерціальна система відліку). Закон збереження енергії:

звідси .

Отже, повна відстань, яку пройде крейда дорівнює:

Очевидно, для того, щоб крейда під час гальмування стрічки не зрушилась з місця, має виконуватись умова:

або

звідси

або .

Примітка: зміна маси крейди, а також тертя (на намальованої лінії тертя інше, ніж на транспортері) не враховується.

4(88). У магнітному полі заряд, що влітає перпендикулярно до ліній поля, рухається по колу радіуса . У нашому випадку швидкість протона зростає, отже і радіус кола зростає. Кутова швидкість руху заряду не залежить від швидкості його руху.

Оцінимо зміщення заряду по осі , вважаючи, що його швидкість весь час стала і дорівнює максимальній.

де - час прольоту протона у прискорювачі.

Як видно зміщення протона при такій оцінці менше половини діаметра трубки прискорювача.

Переконаймось, що наша оцінка коректна.

Визначимо поперечну складову швидкості електрона (завищену) вважаючи, що сила Лоренца весь час має максимальне знамення.

Визначимо кут вильоту протона з прискорювача :

У випадку нашої оцінки . Це означає коректність такої оцінки.

5(89). Розв’яжемо цю задачу методом розмірностей Нехай , де - швидкість звуку в газі, _ - безрозмірна стала, , деякі невідомі показники степеня тиску і густини відповідно.

Отже:

Безрозмірна стала тут не відіграє ніякої ролі.

Оскільки в ліву частину рівності не входить маса, то:

Аналогічно з „секундами” і „метрами”:

З цих рівнянь випливає:

Підставивши значення і у рівняння (3), переконаймо що вони задовольняють систему:

Тоді

(тут однаковий, оскільки той самий газ)

1997 р.

1(90). Оскільки йони рухаються разом і не розлітаються, то вони мають однакову кутову швидкість і обертаються навколо цент мас т. О.

Запишемо 2-й закон Ньютона для кожного йона:

За умовою:

де

Положення центру мас:

Тоді

2(91). Для кожної лампочки можемо записати:

де

У стаціонарному режимі настає тепловий баланс, оскільки лампи вакуумні, то тепло від дротини відводиться тільки випромінюванням. За законом Стефана-Больцмана потужність випромінювання пропорційна площі поверхні (однакові матеріали і температури)

(1)

(2)

Але

(3)

(4)

Розв’язавши ці рівняння, отримаймо:

3(92). Велика краплина володіє енергією:

(де відповідно: енергія краплини в гравітаційному полі, електронному полі, поверхнева енергія, енергія власного електричного поля).

Після розбиття на краплин:

де - енергія полів кожної краплини та енергія їх взаємодії.

Але за умовою .

Врахуймо, що:

- густина речовини.

- густина заряду.

За законом збереження енергії

За законом збереження маси:

звідки

Враховуючи , знехтуймо членом .

Тоді

4(93). У момент відриву від похилої площини визначимо лінії і кутову швидкості кульки. Застосовуючи закон збереження енергії (проковзування немає):

для кулі

звідси

Перед ударом об горизонтальну площину (вважаймо ).

Із закону збереження енергії маємо:

звідки

Пpu ударі об площину. Лінійна швидкість точки на поверхні кульки (відносно центру) — горизонтальної швидкості центру кульки. Під час удару завдяки проковзуванню виникає сила тертя . Запишемо закони зміни імпульсу і моменту імпульсу при ударі.

1-й випадок:

час проковзування — часу удару, тоді:

у кінці удару проковзування немає:

звідки

У вертикальному напрямі удар пружній, отже .

Висота підняття кульки (висота полиці):

й випадок: час проковзування . Проковзування триває впродовж всього часу удару , тоді:

- усереднена сила реакції.

де .

Оскільки , тo .

(як і в першому випадку).

Має виконуватись умова проковзування під час удару , що накладає умову на параметри похилої площини:

Якщо ця умова не виконується, то теорія описується 1-им випадком. Кулька сідає на полицю з проковзуванням (бо ). Для моменту закінчення проковзування маємо

причому

Звідси

(як і в першому випадку).

5(94). Теплова машина має такий вигляд зображений на рисунку. Коефіцієнт корисної дії (ККД) цієї машини:

- ККД теплового двигуна:

звідси

— ККД теплового насоса (холодильної машини):

1998 р.

1(95). Теплоємність визначимо за формулою:

Для усунення впливу втрат тепла через стінки на результати досліду в першому наближенні скористаймось припущенням, що через стінки посудини втрачається теплота потужністю . Тоді, і пропускаючи газ через трубопровід з різними швидкостями потоку, отримаємо два рівняння: , , з яких вирахуємо . При вищих наближеннях слід враховувати залежність , і залежно від неї вибирати необхідну кількість дослідів з різними .

2(96). Еквівапентне коло має вигляд:

Де - опір нескінченного ланцюга, що має вигляд

На схемі опір - позначено однією лінією, а опір , - подвійною лінією. Як видно з рисунка, опір нескінченного ланцюга дорівнює опору нескінченного ланцюга. Позначимо опір ланцюга , тоді еквівалентне коло ланцюга має вигляд

Трикутник можна замінимо зіркою

де

Скориставшись цією заміною, то отримаємо таке коло

Розрахуймо опір цієї ділянки

Підставивши у це рівняння , , , можна визначити . Перетворення дуже довгі, тому ми пропонуємо їх провести читачам самостійно. Визначивши , легко розрахувати опір

Якщо в колі , тоді очевидно, то в нескінченному ланцюгу є площина симетрії, відносно якої т. А₁ і т. В симетричні. Це означає, що точки т. А₂ і т. В₁ мають однаковий потенціал, тобто їх можна сполучити, тоді коло має вигляд

Можна вилучити з кола усі резистори від точок А₂, В₁і далі.

3(97).

І. Якщо у склянку з водою наливаємо ложку вина, тоді концентрація вина у воді буде

заберемо ложку розчиненого вина зі склянки з водою. У цій ложці міститься - вина, тоді у склянці з водою залишиться:

- об’єм вина у воді,

- об’єм вина у склянці з вином.

2. Друга частина має аналогічний розв’язок:

- об’єм води у вині дорівнює об’єму вина у воді.

4(98). Розгляньмо малі крутильні коливання диску масою . Всі кути малі, це означає

звідси

(1)

У рівновазі

(2)

дe - кількість ниток, — сила натягу нитки. Врахуймо, що при малих сила натягу не змінюється, тобто . Запишемо основне рівняння динаміки обертального руху для диску відносно осі ОО’: . Мінус означає, що момент сил натягу ниток

протилежний до вибраного напряму обертання. - момент інерції диску відносно осі ОО’. - кутове прискорення диска.

звідки

Врахувавши (1) та (2):

-рівняння, яке описує гармонічні коливання.

звідки

- період коливань диска.

Якщо у центрі диска покласти невеликий тягарець масою , це приведе до зміни маси диска і не змінить його момент інерції. Новий маятник має період

Відношення періодів коливань маятників

5(99). У системі відліку (СВ), пов’язаній із Землею, швидкість катера , води (див. рис.).

- ККД двигуна катера.

Під час рівномірного руху катера:

1. ;

2. - робота двигуна йде на збільшення кінетичної енергії води (викинутої двигуном) і на виділення теплоти (результат дії сили опору). Сила тяги двигуна дорівнює силі, з якою вода, яку викидає двигун, діє на катер.

За другим законом Ньютона: (імпульс сили дорівнює зміні імпульса води).

Система відліку - катер:

Вода потрапляє у катер зі швидкістю , а витікає зі швидкістю . Запишімо рівняння неперервності для вхідного і вихідного перерізів катера . Врахувавши це рівняння, отримаємо:

1999

1(100). На момент вирівнювання тисків (у посудині і ззовні) у посудину потрапить газ, що займав в атмосфері об’єм . За умовою, процес заповнення посудини відбувається без теплообміну, тобто внутрішня енергія газу об’ємом змінюється тільки завдяки роботі, яку виконує над ним атмосфера:

звідки

(1)

(робота виконується атмосферою при постійному тиску).

Із рівняння стану одержимо:

(2)

Підставмо (2) в (1):

звідси

2(101). V загальному випадку напрямок руху заряду можна визначити, лише інтегруючи рівняння руху заряду

Враховуючи, що рух плоский, є сенс скористатись полярними координатами. Але цей розв’язок надто складний.

Проте є випадок, коли можна обійтись без розв’язку рівнянь руху. Це випадок руху заряду з дуже малою масою, коли можна знехтувати його інерційністю, тобто вважати, що заряд рухається уздовж лінії напруженості електричного поля.

Врахувавши, що рух відбувається у площині, перпендикулярній до циліндричних провідників 1 і 2, розгляньмо лінії напруженості поля у цій площині. Біля провідника 1 лінії рівномірно розходяться у плоскому куті (знехтуємо полем провідника 2). На великій відстані лінії так само рівномірно розходяться відносно центру симетрії нашої системи С, але зараз лінії одного провідника розходяться у плоский кут . Тобто кут між двома довільними лініями, що вийшли з одного провідника, зменшується вдвічі. Це пояснюється тим, що лінії обох провідників не перетинаються, а на великій відстані від провідників модуль напруженості електричного поля, усіх рівновіддалених від центру симетрії системи точок, однаковий. Лінії поля не перетинають площину симетрії ОО₁, по цій площині на великій відстані піде лінія поля, що виходить з провідника 1 у напрямку на провідник 2. Отже, якщо заряд вилітає по лінії під кутом до лінії 12, на великій відстані від системи, ця лінія, а відповідно і швидкість руху заряду, становитиме кут з площиною ОО₁ симетрії системи.

3(102). Нехай

Заряд рухається у центральному полі сил заряду , тому відносно точки О для положень 1 і 2 запишемо закон збереження моменту імпульсу заряду :

(1)

Система зарядів і ізольована. Для положень 1 і 2 запишемо закон збереження енергії:

(2)

де - енергія електричного поля зарядів на сфері (вважаймо, що з наближенням заряду , заряди на сфері не перерозподіляються). Розв’язавши систему рівнянь (1) і (2), отримаємо:

тобто діаметр пучка

Якщо

Розв’язок не змінюється:

Очевидно, що заряди потраплять на сферу за умови , якщо .

4(103).

Позначення на схемі зроблено із урахуванням симетрії кола. Розгляньмо першу комірку.

звідси

Розгляньмо комірку

Звідси

(2)

(3)

Звідси випливає, що

Врахувавши (1), отримаймо:

(4)

Використавши рекурентну формулу (4), розрахуймо

Напруга джерела

Задачу можна розв’язувати послідовно, розраховуючи електричне коло від першої комірки до останньої.

5(104). Під час охолодження суміші водяної пари і повітря об’ємі зменшується, водяна пара конденсується.

Запишемо рівняння для початкового стану:

суміші - , звідси

(1)

водяна пара –

(2)

повітря –

(3)

Для кінцевого стану

повітря –

(4)

водяна пара –

(5)

Врахуймо, що

(6)

(7)

Розв’язавши систему рівнянь (1-7), отримаємо:

2000 р.

1(105). Поле в точці А, положення якої задано радіус-вектором , найдімо як векторну суму полів від зарядів диполя (див. рис. 1)

У проекції на вісь маємо:

де . Якщо , то . У векторній формі

Монета металева, отже, електричне поле всередині монети відсутнє, тобто на поверхні монети індукуються заряди і , які створюють всередині монети електричне поле , що дорівнює

і протилежне полю диполя.

Оскільки , вважаймо поле диполя в межах монети однорідне, а індуковані заряди розподілені рівномірно з густиною і . Поле індукованих зарядів визначимо з формули поля плоского конденсатора:

Отже,

Тоді шукана сила (див. рис. 2):

Монета притягуватиметься до диполя.

2(106). Вважаймо, що поршень починає рухатись у момент початку нагріву, тобто у початковому стані .

Газ вважаймо одноатомним ( - кількість ступенів свободи руху молекул газу).

Процес нагрівання відбувається повільно, а отже поршень рухається рівномірно, тобто газ розширюється при сталому тискові . Для станів 1 і 2 запишемо рівняння стану:

звідси

(1)

Для цих станів перший закон термодинаміки матиме вигляд:

(2)

Процес охолодження 2-3 відбувається ізохорно, тобто - газ віддаватиме тепло. Тоді

звідси

(3)

( - молярна теплоємність при сталому об’ємі). Для початкового й кінцевого станів запишемо рівняння Клапейрона:

звідки

Тиск газу зменшиться у 6 разів.

3(107). Період коливань коливальної системи , де - час руху математичного маятника ліворуч від положення рівноваги, - час руху тягарця праворуч від положення рівноваги.

Розгляньмо рух тягарця праворуч від положення рівноваги. Відведемо тягарець на від положення рівноваги. За другим законом Ньютона у проекції на вісь ОХ маємо:

(1)

Враховано що:

(вісь y)

, для малих кутів)

Диференціальне рівняння (1) описує гармонічні коливання з періодом:

тоді

4(108). Визначимо напруженість електричного поля на осі кільця на відстані від площини кільця. Розбиймо кільце на нескінченну кількість елементарних зарядів . Тоді поле в потрібній точці дорівнюватиме векторній сумі полів від елементарних зарядів . Як видно з рисунка, для будь-якого заряду , завжди знайдеться заряд такий, що складові напруженості їхніх полів по горизонталі скомпенсуються. Це означає, що векторна сума напруженостей від елементарних зарядів напрямлена уздовж вісі ОХ, тоді:

Прискорення тіла в цій точці за другим законом Ньютона: ОХ:

Звідси

Умова задачі однозначна, тому розглядати випадок різнойменних зарядів кільця й тіла, не доцільно.

5(109) Вважаймо, що кулі мають однакову масу, а удари - абсолютно пружні, прямі й центральні.

За законом збереження енергії знайдемо швидкість кулі А перед ударом:

Звідси випливає:

(1)

Швидкість кулі 1 після удару:

(2)

оскільки маси куль А і 1 однакові.

Це легко отримати на основі законів збереження енергії та імпульсу. Законом збереження імпульсу для горизонтальної осі користуватимемось й за наявності сили тертя, оскільки ударні сили набагато більші від сили тертя.

Після удару куля 1 почне ковзати по поверхні стола, швидкість центра мас зменшуватиметься за законом:

(3)

, а кутова швидкість збільшуватиметься:

де - кутове прискорення, яке визначимо із закону динаміки для обертального руху:

Звідси

тоді

(4)

де .

Проковзування кулі припиниться за умови:

(5)

Розв’язавши систему рівнянь (3), (4), (5) за умов , , отримаємо:

(6)

(7)

Визначимо, яку відстань пройде куля 1, проковзуючи:

Куля 1 припинить проковзування на відстані від лівого краю стола. Дальше куля рухатиметься рівномірно. Під час удару куль 1 і В відбуватиметься обмін швидкостями . відхилення кулі В визначимо, скориставшись законом збереження енергії: