13

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГООБРАЗОВАНИЯ

«ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Электротехнический факультет

Кафедра физики

З.Г.Морозова

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА И

КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РАЗРЯДА КОНДЕНСАТОРА

Учебно-методическое пособие

к лабораторной работе по дисциплине «Физика»

Киров 2015

УДК 534. 538 (07)

М801

Рекомендовано к изданию методическим советом электротехнического факультета ФГБОУ ВПО «ВятГУ»

Рецензент:

кандидат педагогических наук, доцент, кафедры «Прикладной математики и информатики» ФГБОУ ВПО «ВятГУ» Хохлова М.В.

Морозова З.Г.

Изучение затухающих колебаний крутильного маятника и колебательного разряда конденсатора: учебно-методическое пособие к лабораторной работе по дисциплине «Физика» для студентов всех технических профилей подготовки, всех форм обучения / З.Г. Морозова. – Киров: Изд–во ВятГУ, 2015. –20с.

УДК 537. 538(07)

М801

© Морозова З.Г., 2015

© ФГБОУ ВПО «ВятГУ», 2015

Учебное издание

Морозова Зоя Григорьевна. Изучение затухающих колебаний крутильного маятника и колебательного разряда конденсатора

Учебно-методическое пособие

к лабораторной работе по дисциплине «Физика»

Подписано в печать . Печать цифровая. Бумага для офисной техники.

Усл. печ. л. . Тираж 103 экз. Заказ .

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Вятский государственный университет»

610000, Киров, ул. Московская, 36, тел.: (8332) 64-23-56, http://vyatsu.ru

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить особенности возникающих в механических и электрических колебательных системах затухающих колебаний; измерение характеристик различных затухающих колебаний; выяснение влияния на них параметров колебательных систем.

I. Затухающие колебания

Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системы с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения амплитуды колебания является её превращение в теплоту вследствие; трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучение электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Уравнение затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматриваются линейные системы - идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие их физические свойства, в ходе процесса не меняются. Линейными, например, являются математический маятник при малых амплитудах колебаний; колебательный контур, если его индуктивность и ёмкость не зависят ни от тока в контуре, ни от подаваемого напряжения.

Независимо от природы колебательного процесса дифференциальное уравнение затухающих колебаний линейной системы задается в виде:

, (1)

где - колеблющаяся величина, описывающая тот или иной процесс; - коэффициент затухания; - собственная циклическая частота (частота гармонических колебаний).

Решением уравнения (1) является функция:

, (2)

После нахождения первой и второй производных выражения (2) и подстановки их в уравнение (1) получим:

. (3)

Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента при . Если этот коэффициент положителен (затухание мало), то можно ввести величину .

, (4)

где - частота затухающих колебаний, - частота гармонических колебаний (собственная частота колебательной системы), - коэффициент затухания.

С учетом выражения (4) уравнение (3)запишется:

,

решением этого уравнения является функция вида

. (5)

Следовательно, с учётом уравнений (2) и (5) решение уравнения (1) запишется:

, (6)

где - начальная амплитуда.

, (7)

где - амплитуда затухающих колебаний.

График зависимости S(t) при затухающих колебаниях (6) приведена на рис. 1.

Затухающие колебания не являются периодическими, так как максимальное значение колеблющейся величины S₁, достигнутое в некоторый момент времени t₁ в последующем (при t > t₁) никогда не повторится. Однако, при затухающих колебаниях величина S обращается в нуль, а также достигает максимальных значений через равные промежутки времени:

. (8)

Величину Т обычно называют периодом (условным периодом) затухающих колебаний.

П ри отсутствии затухания

частота колебаний (4) совпадает с частотой свободных незатухающих (гармонических) колебаний, а период затухающих колебаний совпадает с периодом гармонических колебаний Т₀. При условии движение вообще перестает быть колебательным - процесс становится апериодическим и, если , решение (6) дифференциального уравнения можно представить в виде

,

причём очевидно, что . Это простая экспоненциальная функция никакого колебания не содержит.

График апериодического движения приведен на рис. 2.

Время в течение, которого амплитуда затухающего колебания (7) уменьшается в раз - время релаксации . Очевидно, что будет определять скорость затухания. Коэффициент затухания .-величина обратная времени релаксации .

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний используется логарифмический декремент затухания.

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина равная натуральному логарифму отношения значения амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T .

, (9)

где и - амплитуды двух последовательных колебаний, - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.

Для характеристики изменения энергии колебательной системы используют понятие добротности . Добротность колебательной системы - безразмерная величина , равная произведению на отношение энергии системы в не который момент времени к убыли этой энергии W за один период затухающих колебаний:

.

Так как пропорциональна квадрату амплитуды колебаний , то

. (10)

При условии малого затухания и , , тогда

, (11)

где Т= - период незатухающих колебаний, частота затухающих колебаний = при малых затуханиях. Из уравнения (11) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых колебательной системой за время релаксации.

Полученные общие выводы можем применить для конкретных линейных систем.

В данной работе изучаются механические затухающие колебания на примере крутильного маятника и электромагнитные затухающие колебания на примере электрического колебательного контура.