2. Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити , и колеблющаяся под действием веса материальной точки. В положении рав

новесия, если точка О – точка подвеса маятника, Рис.2

неподвижна или движется с постоянной скоростью, вес тела численно равен силе тяжести.

На рис. 2 представлен математический маятник, для которого отклонение от положения равновесия a - мало. Основной закон динамики поступательного движения для маятника запишется:

, (13)

в проекциях на Х и У уравнение (13) будет иметь вид:

(14)

Ускорение маятнику создает результирующая сила , направленная к положению равновесия (возвращающая сила). Из треугольника сил (Рис.2) следует, что величина силы , причем для малых -

.

Тогда дифференциальное уравнение гармонических колебаний запишется:

. (15)

Сравнивая его с (8), получим, что собственная циклическая частота определится , а период колебаний математического маятника запишется:

. (16)

3. Физический маятник

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси О, не проходящей через центр масс С (рис. 3).

Пусть маятник, отклоненный от положения равновесия на некоторый угол ( -мало), совершает вращательное движение под действием возвращающей

силы F_x. В соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент возвращающей силы М определится:

, (17) где I – момент инерции тела; e – угловое ус Рис.3 корение; d – плечо силы F_х.

Учитывая рис. 3, d = – расстоянию от

Рис.3 оси вращения О до центра масс тела С,

- возвращающаяся сила для данного маятника.

Таким образом уравнение (13) перепишется

или (18)

С учетом малых

или . (19)

Из сравнения уравнения (19) с уравнением (8) циклическая частота физического маятника определится:

,

тогда период колебаний физического маятника равен:

. (20)

Величина – называется приведенной длиной физического маятника.

Эта величина зависит от формы, размеров тела, положения оси вращения О относительно центра масс тела С.

Момент инерции маятника относительно оси вращения О определяется по теореме Штейнера , следовательно, приведенная длина физического маятника запишется:

,

т.е. L больше расстояния ОС = и равна расстоянию между двумя точками тела О и . Точка – называется центром качания тела для оси О. Если ось подвеса перенести из точки О в соответствующий ей центр качания , то период колебаний тела не изменится, т.е. О и обладают свойством взаимозаменяемости.

Также приведенную длину физического маятника L можно определить как длину математического маятника , колеблющегося синхронно с данным физическим маятником.