Так, если иус описывается дифференциальным уравнением
,
то при начальных условиях
операторная форма его записи имеет следующий вид:
а передаточная функция определяется как
(6)
Здесь
– аргумент преобразования Лапласа;
и
– изображения
функций
и
по Лапласу.
Передаточная функция является своеобразной формой записи дифференциального уравнения устройства и полностью отражает его динамические свойства. Поэтому передаточная функция ИУС зависит не от вида воздействия, а от параметров функциональных элементов, составляющих ИУС.
Многочлен
называется характеристическим, и
уравнение
называется характеристическим уравнением.
Многочлены
и
могут быть представлены следующим
образом:
где
–
корни уравнения
– нули
передаточной функции;
–
корни уравнения
– полюсы
передаточной функции.
Передаточные функции сложных систем легко могут быть определены через передаточные функции составляющих их элементов (будет показано ниже).
Имея
передаточную функцию системы и
,
просто найти уравнение системы в
операторной форме, т.е.
и, используя обратное преобразование
Лапласа, определить процесс управления
.
Такой путь значительно упрощает
составление и решение уравнений систем
автоматического управления.
Рассмотрим без доказательства некоторые свойства передаточных функций систем автоматического управления.
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от параметра p вида (6). Порядок числителя m равен порядку знаменателя n или меньше его.
Коэффициенты
и
передаточной
функции есть вещественные числа,
поскольку они определяются параметрами
системы, которые всегда вещественны.
Как уже отмечалось ранее, воздействия, приложенные к ИУС, делятся на задающие (управляющие) и возмущающие. При этом различают три вида передаточных функций замкнутых систем.
А. Передаточной
функцией замкнутой системы по задающему
(управляющему) воздействию
называется отношение преобразования
по Лапласу выходной величины
к преобразованию по Лапласу задающего
(управляющего) воздействия
при нулевых начальных условиях, т.е.
,
(7)
где
;
выходная величина;
;
– входная координата.
Б. Передаточной
функцией замкнутой системы по возмущающему
воздействию
называется отношение преобразования
по Лапласу выходной величины
к преобразованию по Лапласу возмущающего
воздействия
при нулевых начальных условиях, т.е.
,
(8)
где
;
возмущающее воздействие.
В. Передаточной
функцией ошибки замкнутой системы
называется отношение изображения по
Лапласу сигнала ошибки
к изображению по Лапласу задающего
воздействия при нулевых начальных
условиях
,
т.е.
,
(9)
где
;
сигнал ошибки ИУС.
В
некоторых случаях при анализе и синтезе
ИУС бывает удобно вычислить передаточные
функции замкнутой ИУС через передаточные
функции разомкнутой системы, которые
определяются, если реально или мысленно
разомкнуть цепь главной обратной связи
в системе. При этом различают два вида
передаточных функций разомкнутой ИУС:
по задающему воздействию и передаточную
функцию разомкнутой ИУС по возмущающему
воздействию, которые соответственно
обозначаются
и
.
Передаточной функцией разомкнутой ИУС по задающему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины разомкнутой ИУС к изображению по Лапласу задающего воздействия при нулевых начальных условиях, т.е.
,
(10)
где ;
выходная величина разомкнутой ИУС.
Передаточной функцией разомкнутой ИУС по возмущающему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины разомкнутой ИУС к изображению по Лапласу возмущающего воздействия
при нулевых начальных условиях, т.е.
.
(11)
В современной инженерной практике исследования ИУС широкое применение получили частотные методы, которые основаны на рассмотрении частотных характеристик отдельных элементов и системы. Если разомкнуть главную обратную связь ИУС и подать на вход ИУС воздействие синусоидальной формы, то в установившемся режиме на выходе системы получим гармоническую функцию той же частоты, но другой амплитуды и фазы. Анализируя гармонические сигналы на входе и выходе системы, можно установить ее свойства, которые характеризуются частотной функцией
.
(12)
Функция W(j) называется комплексной передаточной функцией, комплексной частотной характеристикой. Последняя может быть получена путем замены в выражении передаточной функции (6) комплексной переменной p на j:
,
(13)
где
;
;
;
.
Указанная
замена равносильна переходу к
преобразованию Фурье для дифференциальных
уравнений при нулевых начальных условиях.
Геометрическое место концов векторов
комплексной частотной функции
при различных частотах представляет
собой частотную характеристику, которая
называется
амплитудно-фазовой частотной
характеристикой ИУС
(рис. й). В дальнейшем как аналитические
выражения (13) частотных функций, так и
их графические представления (рис. 2)
будем называть соответствующими
частотными характеристиками.
Рис. 1.2 - Амплитудно-фазовая характеристика ИУС
Выражение (13) для амплитудно-фазовой характеристики ИУС может быть записано в алгебраической форме:
или в показательной форме:
.
Члены U() и V() алгебраической формы записи W(j) называются соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками. Они определяются освобождением от мнимого числа в знаменателе W(j), т.е.:
;
.
Чаще всего передаточную функцию анализируют по амплитудно-частотной характеристике:
;
(14)
.
(15)
Содержательный смысл амплитудно-частотной характеристики заключается в отношениях выходного сигнала к входному при разных частотах. Амплитудно-частотная характеристика для разомкнутых систем без автогенерации всегда меньше единицы. Если на вход подается единичный сигнал, то, проходя через систему, часть энергии рассеивается, при этом подразумевается, что в системе нет дополнительных источников энергии.
Фазочастотная характеристика показывает изменение фазы входного сигнала в выходном в зависимости от частоты.
Амплитудно-частотную характеристику можно найти посредством применения преобразования Лапласа. Такой подход используют в связи с тем, что для инженерных расчетов решение дифференциальных уравнений достаточно затруднено. Поэтому разработан математический аппарат на основе преобразования Лапласа, позволяющий свести решение дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения.