Добавил:

ivankoo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

Геодезия

Файл:

Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2020

Размер:

1.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

B1 f1 0
L2 f2 0													(8.2)
L2 f2 0							;						(8.2)
A			f
A			f	3		0
	21			3
До формул (1) застосовуемо ряд Маклорена
											1												2		1
f x f 0 f 0 x													f			0 x													f			0 x
											2														6
Для нашого випадку, одержимо
															1											2							1										2		...
																																6
			B2 f1 0 f1 0 S 2																f1		0 S											6				f1 0 S
			L2 f2 0 f													1				f								2							1				f		0 S			2		.... (8.3)
																2																		6
										2	0 S					2					2		0 S											6						2
			A21 f3 0 f														1													2						1									2	...
																	2																			6
											0 S						2			f3 0 S																6			f3 0 S
Враховуємо в формулі (8.3) вираз (8.2)
					dB				1		d2B							2			1			d3B													3
B		B							S					S																			S						...
B		B							S					S																			S						...
	2		1		dS				2		dS2										6			dS3
							1						1																		1
					dL				1		d2L										1			d3L
					dL				1		d2L						2				1			d3L												3
L		L							S					S																		S						...
L		L							S					S							6											S						...
2			1		dS				2		ds2										6			dS			3
							1					1																		1
									dA				1	d					2 A												1			d				3A
								o	dA				1	d					2 A						2						1			d				3A				S ...
A		A		180							S													S
A		A		180							S		2											S							6
21			12						dS				2	dS2																	6			dS						3
										1												1																			1

(8.4)

Індекс 1 означае, що похідні у формул (8.4) беруться по аргументу пертої точки.

Візьмемо точку С строго посередині геодезнчної лінії. Приймемо ії за початкову. Візьмемо до УВАГИ першу формулу (8.4):

		dB		S	1	d	2	B				S2	1	d3B		S	3
B	B																	; (8.5)
									2
1	0	dS 0	2		2	dS				0	4		6		3	8
														dS

		dB	S	1	d2B			S2	1	d3B		S3
B	B												; (8.6)

2	0	dS 0	2	2		2		4	6		3	8
					dS		0			dS

Віднімаємо друге рівняння від першого:

		dB		1		d3B							S3
B2	B1		S											...;		(8.7)
								3
				3				3					8
		dS 0		3		dS				0			8
		dL		1	d3L							S3
L2	L1		S
							3							...;		(8.8)
				3			3						8	...;		(8.8)
		dS 0		3	dS				0				8
			dA						1		d3A					S3
A21 A12 180						S
																	...; (8.9)
									3					3		8	...; (8.9)
			dS 0						3		dS				0	8

Похідні в цих формулах відносять до точки С. Порівнюючи (8.7) (8.8) (8.9) (8.4). вигоди такого прийому очевидні, тому що нема парних похідних, коефіцієнти при непарних зменшились.

Візьмемо до уваги формули (8.5) і (8.6) і, крім того, замітим, що

B	0	B	m	1	2	(B B	2	);	A A ;		L L	m
	0		m		2	1	2		0	m	0	m
Додамо рівняння (3.5) і (8.6) і розділимо на 2.ї

d2B

...;

(8.10)

d2A

S ...;

(8.10’)

По аналогії

		1	d2 A				2
Am A0	180 A21 A12					S			(8.10”)
		180						...;
				2
		8	dS		0

формули (8.7)(8.9) з врах^тзанням (8.10) взагальному випадку розв’язують задачі. Хід виводу формули зводиться до знаходження похідних і підстановки їх в (8.7), (8.8), (8,9) з врахуванням (8.10), (8.10'), (8.10")

dB		V	3	cosA;

dS		C
					V
dL		dl
						sin A secB; ;(8.11)

dS	dS				C
dA		dt			V
						sin A tgB;
dS	dS
					C

d2B

cosA

sin A

;(8.12)

dS2

;V2

1 e12 cos2 B 1 2;t tgB

2VdV 2e 2 cos2

BsinBdB;

cosBsinB

d2B 3V

cosA

sin A

sin A t ;

d2B

t (sin

A 3

cos

A);(8.12')

dS2

d2B

sin

AsecB

tsecBsin A

secBcosA

;(8.13)

dS2

Тепер всі величини відомі. Підставим згрунтуемо

cosA;dA dlsinB;t lsinB,

sinB;

d2l

secBsin AcosA;(8.13')

dS2

d2 A

d2l

sinB

cosB

;(8.14)

dS2

d2 A

V 2

sin AcosA(1 2t

);(8,14')

dS2

Точка D мяе широту Вm, але не відповідає Аm. Bm—Bс малі і точка D

бпшька до точки С.

Застосуємо ряд Тейлора для функції двох змінних:

f (x,y)

f (x, y)

f (x, y) f[x h, y k] f (x, y)

...;(8.15)І в

нашому випадку

f (B ,A ) f[B (B B

)A (A A )]f (B ,A )

f (Bm,Lm )

Дану

f (Bm,Am )

)

(A A );(8.16)

формулу підставимо у формулу (8.10):

S2 d2B

d2 A

Підставл

;(8.17)

dS m

8 dS

яючи цей вирал у (8.7), одержимо:

d2B

d2 A

d3B

B2 B1

;(8.18)В

dS3

даному випадку:

;

3Vm

2tm cosAm

;(8.19)

Vm3

sin A ;(8.20)

Підставляємо вираз (8.19) і (8.20); у (8.18).

B )

Scos4

1Vm

S2 sin2

A (2 32

2 2 ) 3 2 cos2

A (r: 1 2

4 2 )

24C2

m n

Приймаючи до уваги, що:

	[1];		[2];

M		N

b (B2 B1) [1]m S cos Am{...};(8.21)

По аналогії

l (L2 L1) [2]m Ssin Am secBm 1

... ;(8.22)

t (A21 A12) 180 [2]m Ssin AmtgBm 1

.. ;(8.23)

Поправочні члени в дужках заміняються:

tcos2

l2 sin2 B

[1]m ScosAm 1

;(8.24)

або:

l 2

t 2

[1]m ScosAm 1

;(8.24 )

де:

l2 (1 sin2 B );t

lsinB

;

b 2

t 2

l [2]m Ssin Am secBm 1

;(2.25)

	b 2	l 2 cos2 B	l 2 sin2 B
t [2]m Ssin AmtgBm 1		m	m	;(8.26)
	12 2		24 52
		12 2

Для обчислення координат при

S<45км:

	B1) e ScosAm	V3			l 2	t 2
(B2			m	1			;(8.27)
			C		12 2	24 2

Де:

Vm 1 e 2 cos2 Bm ;

l L2 L1 Vm Ssin Am secBm;(8.28)

t (A	A	180 )			Vm	Ssin A tgB;(8.29)
t (A	A	180 )				Ssin A tgB;(8.29)
21	12				C			m
					C
			Vm						b	2			t	2
(L2 L1) l			Vm						b				t
											2				2
				Ssin Am secBm 1					24		2				2		;(8.30)
			C						24				24
							V					b 2					t 2		l 2
(A21 A12 180 ) t							m
														2				2		2
							C	Ssin AmtgBm 1				12		2		24		2	12	2	;(8.31)
							C					12				24			12

Тоді:

B2 B1 b;L2 L1 l;A21 A12 180 t;(8.32)

Але b, l i t є функціями середніх значень Bm і Аm, які нам відомі. Тому задача вирішується методом послідовних наближень

B2 B b B1 ScosA12

;

Ssin A12 secB1;

;(8.33)

Ssin A12tgB1;

B1 B2

;Lm

;Am

A12 (A21 180 )

;

Використовуючи значення Bm,LmiAm за формулами (8.27)-(8.31), знаходимо

b, l, t в другому наближенні і так далі до необхідної точності.

8.2. Обернена геодезична задача.

За заданими координатами В1, L1 та В2, знаходимо:

B2 B1

;

(B B );(8.34)

Vm 1 e 2 cos2 Bm;

Враховуючи, що:

;

Vm3

Формули, отримані для розв'язку прямої геодезичної задачі (8.27-8.33),

запишемо

Scos A

;

Ssin A

secB

;

;(8.35)

t lsin Bm 1

;

(A2 1 A1 2 180 )

;

Формули (8.34) і (8.35) є вихідними для розв'язку оберненої геодезичної гадячі. Так, із (8.35) .знаходимо:

2(lsin B

)

Scos Am bMm 1

;

b2 (lsin B )2

Ssin A

cosB

;(8.36)Позначивши

;

Ssin Am P;Scos Am Q;

праві частини (8.36) відповідно через Р і Q, отримаємо

S2 P2 Q2;

S P2 Q2;

Діючи аналогічно, отримаємо:

2Am(A1 2 2 1 180 ); ;(8.38)

t (A2 1 A1 2 180 );

Звідки:

tgA	P	;
tgA		;
m	Q
	Q		S2 sin2 A
S2 cos2 A			S2 sin2 A	P2 Q2; ;(8.37)
		m	m

A	A		1		t;

12	m	2

				1		;(8.39)
A	A				t 180 ;

21	m	2

де:		3b2 2l2 2(lsin B	)2

t lsin B	1	m

m		24

Всі наведені формули, що розв'язують головні геодезичні задачі, призначені для обчислення в тріангуляції 1 класу

Розділ №7.

Лекція №9. Диференціальні формули першого і другого роду

9.1 Загальні поняття.

Па практиці виникає необхідність в переурівнюванні ряду пунктів. Формули, які виражають поправки в геодезичні координати пунктів

азимути напрямків викликані зміною вихідних даних називаються

диференціальними формулами першого роду.

Тріангуляція вирівняна на якомусь еліпсоіді. В процесі проведення геодезичних робіт параметри еліпсоїда уточнились і щоб заново вичисляти координати , ПУНКТІВ складати таблиці необхідні формули ,які виражають поправки В геодезичні координати і азимути за зміну параметрів еліпсоїда. Такі формули називаються диференціальними формулами другого роду.

9.2 Спрощені диференціальні формули першого роду. Приведемо

спрощені формули для сторін не більше 40-50 км. На поверхні еліпсоїда координати початкового пункту одержали зміну.

B	B	dB ;
2	2	2
L2	L2	dL2;	;(9.1)

A2,1 A2,1 dA2,1;

Тоді:

B2 B1 0 B1 1 m ScosAm III;

L2 L1 1 L2 2 m Ssin Am secBm III;

A2,1 A1,2 180o A1,2 180o 2 m Ssin

Де: Ш—поправка.

Візьмемо повний диференціал і розложимо в ряди:

dB dB

дb

dS;

дBm

дAm

дS

dL2 dL1

дl

dBm

дl

dAm

дl

dS;

дB

дA

дS

дt

180

dS;

дS

2,1

1,2

дBm

дAm

(9.2)

Am tgBm III

(9.3)

По цих частинах вичислюємо поправки. Щоб отримати частинні похідні, потрібно продиференціювати (9.2) Диференціали dBm, dAm замінимо черезdB1, dВ2. Продифeренціюємо по Bm вираз для bn [1]mScosAm, одержали:

ScosA

1 m

ScosA

m B

sin2Bm 1 e sin

1 e sin

ScosA

;

a1 e2

Або:

e2 sinn2BmScos Am

1 e2 sin

2 B

;

Тому що при диференціюванні В фігурних дужках одержали

3 1 e2Bm 12 2e2 sin BcosB; 2

івраховуючи, що:

2e2 sin Bm cosB2 e2 sin2Bm

Отримали вище приведене рівняння. Приймемо до уваги, що:

S cos Am u;

отримаемо:

sin2B

b e

;

(a)

1 e2 sin

2 B

значення

eB1;

є величиною четвертого порядку малості і ним нехтуємо В цих формулах МОЖЕМ не робити різниці між [1] і [2]

b	1 m Ssin Am 2 m Ssin Am	cosBm	l cosBm; (b)
A	1 m Ssin Am 2 m Ssin Am	cosB	l cosBm; (b)
m		m

1 2

N N

Диференціюючи:

b 1 mS cos Am;

Одержимо:

cos A

;

(в)

m S

З врахуванням вищеприведеного

dtgS

dB2 dB1

cosBmdA12 b

;

(9.4)

де

d lnS

d lgS

Прнцьому dВ2 находиться В кутовій мірі. Формула (9.4) зкінцеваю формулою для отримання поправки в широту для другого пункту.

Аналогічно знайдем поправку в азимут і довготу, диференціюючи:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Геодезия

#
14.03.201810.12 Mб581Білокриницький С. М. Геодезія.pdf
#
14.03.20181.27 Mб85Геодезический калькулятор.xls
#
28.05.20201.42 Mб54Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович.pdf