1.2. Принцип максимума Понтрягина
Этот метод, разработанный академиком Л.С.Понтрягиным [ 1 ], при снятии ограничений 2-го и 3-го типа (по скорости и ускорению) и с учетом того, что i(s) = 0, позволяет получить аналитическое решение задачи. Рассмотрим эту задачу на примере тепловозной тяги [ 2 ].
Основное сопротивление движению поезда для заданного подвижного состава зависит только от скорости и определяется выражением
.
(1.5)
С достаточной степенью точности можно считать, что интенсивность расхода топлива линейно зависит от используемой мощности локомотива
Е = 1Р = 2u, (1.6)
где 1, 2 – коэффициенты пропорциональности.
Обозначив
s
= x, v =
,
=
,
с учетом формул (1.1) - (1.6) и рационального
выбора единиц измерения, запишем
уравнение движения поезда в безразмерном
виде
=
-
к0
- к1
-
к2
2.
(1.7.)
Для удобства записи производные обозначены здесь точками.
Для применения принципа максимума Понтрягина, приняв x = x1 и 1 = x2 , приведем уравнение (1.7) к виду
1 = x2;
2
=
u
/
x2
- к0
- к1
х2
- к2
х2/2.
(1.8)
Необходимо найти такое управление u(t), которое перевело бы систему (1.8) из начального состояния x1(0) = x10 и х2(0) = x20 в конечное x1(Т) = 0 и x2(Т) = 0, обеспечивая при этом минимум функционала (1.3).
Функция Гамильтона [ 1 ] для системы (1.8) запишется в виде
Н(
,
x, u)
=
1
1
+
2
2
,
(1.9)
где 1, 2 – вспомогательные переменные, которые определяются выражением
i
=
.
(1.10)
Подставляя значения 1 и 2 из системы (1.8), получим
Н(
,
x, u) =
1
x1
+
2
(к0
+ к1
x2
+ к2
x2/2
-
).
(1.11)
Для оптимальности процесса необходимо, чтобы выполнялось условие максимума:
Н( , x, u) = max Н( , x, u). (1.12)
Как следует из уравнения (1.11) функция Н достигает максимума при u(t) равной 2 / x2 = max. Так как x2 > 0, то, очевидно, что (1.12) достигает максимума при
umax, если 2 / x2 > 0 ;
u = (1.13)
0, если 2 / x2 < 0.
Отсюда следует, что оптимальное по расходу топлива управление является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения umax или 0 (рис.1.1).
Рис. 1.1 График оптимального по расходу топлива управления тепловозом при отсутствии уклонов
Для определения скорости и момента отключения тяговых двигателей произведем следующие действия. Запишем уравнения для функции yi, используя уравнение (1.10):
=
=
0;
2
=
=
(к1
+
2
к2
х2.
+
)
2
-
1
(1.14)
Из выражения (1.14) 1 = С1. Используя выражения (1.8) и (1.14) составим систему
=
-
к0
-
к1
х2-
к2
;
2
= (к1+
2 к2
x2.
+
)
2
- С1.
(1.15)
Функция
2(t)
меняется во времени. В начальный момент
u
= umax.
Переключение с umax
на u
= 0
происходит в момент, когда
2
= 0,
значит, после переключения
2
< 0,
С1
< 0,
и поэтому
2
(t)
убывает. Следовательно, функция
2
(t)
имеет одно переключение.
Исходя из этого, весь фиксированный
отрезок времени Т
можно разбить на два отрезка [ 0,
]
и [
,
T ],
где
–
момент переключения.
При
u
= 0; [
, T ]; t
[
,T
]
получаем
=
- к0
- к1х2
- к2
;
-
=
dt
;
t
=
1(x2)
+ С2;
x2(T)
=
0;
С2 =
T -
1(0);
t
=
1(x2)
+ T -
1(0).
(1.16)
При u = umax; [0, ]; t [0, ] получаем
=
-
к0
- к1х2
- к2
+
;
dt
=
o
;
t = 2(x2) + С3; x(0) = 0; С3 =T - 2(0);
t = 2(x2) - 2(0). (1.17)
В момент траектория непрерывна, значит
(1.18)
Из
выражения (1.18) находится скорость
переключения
в
момент
.
Подставляя
в
выражение (1.17), найдем момент переключения
.
Процесс, оптимальный по расходу топлива при фиксированном времени хода Т, приведен на рис.1.2. В момент t = 0 включается тяга u = umax для осуществления разгона. При достижении времени тяга выключается и поезд, двигаясь по инерции, достигает конечную координату за время Т.
