4.3 Алгоритмы фильтрации
При работе технологических объектов создаются помехи. Для устранения высокочастотных помех используются аппаратные RC-фильтры. Но они не способны ослабить помехи с частотами, близкими к частотам полезных сигналов. Простейшим примером такой помехи является погрешность измерения параметров технологического процесса. Для ослабления такого рода помех обычно используются алгоритмы скользящего среднего или экспоненциального сглаживания.
Методы скользящего среднего и экспоненциального сглаживания используются для прогнозирования временных рядов. Формально временной ряд – это множество пар данных (X,Y), в которых X – это моменты или периоды времени (независимая переменная), а Y – параметр (зависимая переменная), характеризующий величину исследуемого явления. Цель исследования временных рядов состоит в выявлении тенденции изменения фактических значений параметра Y во времени и прогнозировании будущих значений Y. Модель, построенную по ретроспективным данным можно использовать при наличии устоявшейся тенденции в динамике значений прогнозируемого параметра.
Суть
методов скользящего среднего и
экспоненциального сглаживания состоит
в том, фактические уровни исследуемого
временного ряда заменяются их средними
значениями, погашающими случайные
колебания. Это позволяет более четко
выделить основную тенденцию изменения
исследуемого параметра. Эти относительно
простые методы прогнозирования временных
рядов, основанные на представлении
прогноза
в виде суммы m предыдущих наблюдаемых
значений
(
),
причем каждое из них учитывается с
определенным весовым коэффициентом
.
.
Использование методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания основано на следующих допущениях:
- временной ряд является устойчивым в том смысле, что его элементы являются реализациями следующего случайного процесса:
,
где
b – неизвестный постоянный параметр,
– случайная ошибка.
- случайная ошибка имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию; данные для различных периодов времени не коррелированны.
Метод скользящего среднего. Расчетная формула по методу скользящего среднего имеет вид:
,
(4.2)
где
Mi
– параметр сглаживания, величина
которого определяет количество отсчетов
,
взятых для вычисления одного сглаженного
значения
.
Раскроем формулу (4.2) для частных значений k, а именно:
,(4.3)
,
(4.4)
.
(4.5)
Принцип
скользящего окна поясняется формулами
(4.3) – (4.5), из которых следует, что для
вычисления очередного сглаженного
значения записанная в Мi
ячейках памяти информация сдвигается
влево, и в освободившуюся ячейку заносится
новый отсчет датчика. После чего
выполняются процедуры суммирования Мi
отсчетов и умножения на коэффициент
.
Из анализа алгоритма (4.2) следует, что
для его реализации потребуется Mi+2
ячейки памяти, а время готовности
алгоритма выдать с заданной точностью
1-е сглаженное значение составит
.(4.6)
Величина
параметра сглаживания
вычисляется по заданному значению
коэффициента ослабления помех
,
который, в свою очередь, представляет
собой отношение:
,(4.7)
где
-
среднеквадратическое значение помех
в отсчетах датчиков xik,
-
среднеквадратическое значение помех
в сглаженных, вычисленных в соответствии
с алгоритмом (4.2) значений xcik.
Чтобы оценить величину Mi, представим каждую из переменных, входящих в выражения (4.2), (4.3) – (4.5) как:
(4.8)
Подставляя
(4.8) в (4.2) или (4.3) – (4.5) и вычитая
математическое ожидание
,
получим уравнения относительно абсолютных
значений погрешностей, которые будут
идентичны выражениям (4.2) или (4.3) – (4.5),
например,
.
Предполагая,
что значения погрешностей в соседних
точках не коррелированны и характеризуются
дисперсией
можно записать следующее уравнение
относительно дисперсии погрешности
сглаживания:
или
Следовательно, с учетом выражения (4.7) значение параметра сглаживания для i–го датчика равно:
.(4.9)
Алгоритм скользящего среднего представлен на рисунке 4.4.
Рис. 4.4 Алгоритм скользящего среднего
Результаты моделирования работы алгоритма представлены на рисунке 4.5.
Рис. 4.5. Результаты моделирования работы алгоритма скользящего среднего
На рисунке 4.5 изображен сигнал полученный с помощью алгоритма скользящего среднего. Сравнив его с сигналом, полученным после выполнения алгоритма проверки на достоверность (рис. 4.3,в) видим, что сигнал стал более сглаженным. Первые десять отсчетов датчика (выделены пунктирным прямоугольником на рис. 4.5) не сглажены, так как они непосредственно формируют скользящее окно и сгладить их не возможно, в силу отсутствии предварительной информации.
Метод экспоненциального сглаживания. Расчетная формула по методу экспоненциального сглаживания имеет вид:
,
(4.10)
при
начальном значении
и диапазоне изменения параметра
сглаживания: 0<ai<1.
Следует
отметить, что в реальных условиях в
результате вывода технологического
процесса или технического объекта в
установившийся режим работы становится
известным желаемое значение контролируемой
или регулируемой переменной, которое
ранее было обозначено как
.
Именно эта величина и может быть
использована в качестве начального
значения
.
Величина параметра a определяет длительность переходных процессов и качество сглаживания. Чем меньше a, тем лучше сглаживание, но тем большее время потребуется для получения сглаженного значения с заданным ослаблением помехи .
Поэтому,
как и в предыдущем алгоритме сглаживания,
возникает задача нахождения значения
параметра сглаживания
и времени готовности по расчетной
формуле (4.10) вычислить 1-е сглаженное
значение
с принятым коэффициентом ослабления
помех
.
Для определения параметра сглаживания перейдем в выражении (4.10) к дисперсиям погрешностей измерений, принимая те же допущения, что и для алгоритма (4.2), тогда
.
Откуда
,(4.11)
или
(4.12)
Выражение (4.12) позволяет рассчитать параметр для алгоритма экспоненциального сглаживания, если задан коэффициент ослабления помех .
Расчетную формулу (4.10) можно представить не в рекуррентной форме, а в виде суммы следующего вида:
.
Считая, что погрешности измерения в каждом отсчете i–го датчика не коррелированны, приходим к аналогичному уравнению относительно дисперсий этих погрешностей:
Выражение
в квадратных скобках можно записать
как сумму убывающей геометрической
прогрессии
со знаменателем
Следовательно,
.(4.13)
На основании формул (10) и (12) получаем:
(4.14)
В
выражении (4.14) член
с ростом k
стремится к нулю, приближаясь к (4.11).
Задаваясь степенью приближения δ,
можно
вычислить значение k,
которое будет определять количество
рекуррентных вычислений в расчетной
формуле (4.10), и, следовательно, время
получения первого сглаженного значения
при заданном коэффициенте ослабления
(4.7).
На
основании сказанного из равенства
находим
,(4.15)
Алгоритм экспоненциального сглаживания представлен на рисунке 4.6.
Рис. 4.6 Алгоритм экспоненциального сглаживания
Результаты моделирования работы алгоритма представлены на рисунке 4.7.
Рис. 4.7 Результаты моделирования работы алгоритма экспоненциального сглаживания
На рисунке 4.7 изображен сигнал, полученный с помощью алгоритма экспоненциального сглаживания. Сравнив его с сигналом, полученным после выполнения алгоритма проверки на достоверность (рис. 4.3,в) видим, что сигнал стал более сглаженным. Для получения первого сглаженного значения необходимо время (выделено пунктирным прямоугольником на рис. 4.7), которое может быть рассчитано по формуле
.
(4.16)
Как следует из (4.16), это время будет возрастать с увеличением точности вычислений δ. Достоинством метода экспоненциального сглаживания, по сравнению со скользящим окном, является малый объем памяти, хотя он значительно дольше входит в установившийся режим. Следовательно, с учетом необходимости контроля состояния большого количества датчиков (более 30), выбираем алгоритм скользящего среднего, позволяющий быстрее выйти в установившийся режим.