Лекции / Дифференциальные уравнения. Конспект лекций

2. Второй тип уравнений первого порядка, тоже интегрируе мых в квадратурах:

или

Это уравнение первого порядка, не содержащее (явно) независи4

мого переменного.

Предположим, что функция f(y) непрерывна в интервале а < у < b, где a > − ∞ , b < + ∞ . Для нахождения искомой функции у = ϕ (х) до пускают, что для нее существует обратная функция x = ψ (y). При нимая у за независимое переменное, а х — за искомую функцию, по свойству производной от обратной функции будем иметь:

Мы привели уравнение к уже рассмотренному типу, однако функция в правой части перестает быть непрерывной для тех зна чений у, которые обращают знаменатель в нуль. В связи с этим ограничимся сначала рассмотрением интервала α < y < β , внут ри которого f(y) не обращается в нуль. Записав уравнение (8) в виде:

dx = dy , f (y)

будем иметь внутри указанного интеграла:

13

Вводя начальные значения х0, у0 ( − ∞ < x0 < + ∞ , α < у0 < β ), решение (5) можно переписать в виде:

Формулы (9) или (10) определяют х как функцию от у. Затем осталось убедиться, что эта функция допускает обратную. В ин тервале (α , β ) непрерывная функция f(у) не обращается в нуль, а значит, сохраняет постоянный знак; х – х0 есть монотонная функция от у, а непрерывная монотонная функция (не постоян ная ни в каком интервале) всегда имеет непрерывную и однознач ную обратную функцию. Таким образом, сделанное нами допу щение оправданно. Видно, что эта обратная функция у = ϕ (x – х0) удовлетворяет исходному уравнению (4). Таким образом, через каждую точку полосы − ∞ < x < + ∞ , α < у < β проходит одна и только одна интегральная кривая. Рассмотрим теперь значения у, обращающие в нуль правую часть уравнения (8). Пусть уравнение

имеет корень у0. Затем остается убедиться, что при подставлении

у = у0 в обе части уравнения (8) оно обращается в тождество. Сле довательно, кроме решений, даваемых формулами (10) или (2, 3, 1), имеются еще решения вида у = у0 (интегральные кривые здесь суть прямые, параллельные оси Ох), где у0 — любое значение, удо влетворяющее уравнению (11). Через точки этих прямых

х = х0, у = у0 иногда проходит только одна интегральная кривая — сама прямая у = у0, иногда также и отличные от этой прямой ин тегральные кривые, — в последнем случае говорят, что в точке (x0, у0) нарушается свойство единственности.

14

3. Уравнения вида:

вкоторых правая часть есть произведение функции только от х на функцию только от у, интегрируются следующим образом: следует «разделить переменные». Иначе говоря, при помощи умножения и деления необходимо привести уравнение к такой форме, чтобы

водну часть входила только функция от x и дифференциал dx, а в дру

гую часть — функция от у и dy. В данном случае надо умножить обе части уравнения на dx и разделить на ϕ (у). В результате получится:

Когда переменные разделены, рассуждают так: представим, что нам известен у как функция х, являющаяся решением уравне ния (7). Тогда в обеих частях уравнения (7/) стоят тождественно рав ные между собой дифференциалы. Следует заметить, что только в правой части этот дифференциал выражен непосредственно через независимое переменное х, а в левой части — через посредство у, являющегося функцией от х. Если дифференциалы равны, то их неопределенные интегралы могут различаться только постоян ным слагаемым; мы можем интегрировать левую часть по у, а пра вую по х. В результате получится:

где С — произвольная постоянная. Таким образом, если у — реше ние уравнения (12), мы получили соотношение (14), связывающее это решение у и независимое переменное x, т. е. получили общий интеграл уравнения (12). Если удается разрешить его относительно у, то получим (в явном виде) общее решение данного уравнения.

15

Узнаем теперь, при каких условиях формула (14) действительно определяет у как функцию (однозначную) от х в окрестности точ ки х = х0, у = у0. Напишем интеграл в виде:

yx

Видно, что ψ (x, y; x0 , y0 )= 0 , тогда

Это выражение не обращается в 0; оно имеет смысл, если ϕ(y0 ) ≠ 0 . Если для некоторого значения y = y0 мы имеем ϕ (y0) = 0, то решением уравнения (12), кроме решений, данных формулой (14), будет также y = y0. Если уравнение задано в виде:

то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (12), а достаточно разделить обе части на произведение тех множите лей, которые содержат не то переменное, на дифференциал кото рого они умножаются. То есть разделяем переменные на N(y)P(x):

M (x)dx + Q(y)dy = 0.

P(x) N (y)

Отсюда получится общий интеграл:

16

3. Однородные уравнения

Уравнение первого порядка

dy = f (x, y) dx

называется однородным, если f(x, y) есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения, т. е. имеет место тож дество:

ϕ y

Если обозначить ее через , то можно видеть, что однород

x

ное уравнение всегда можно представить в виде:

При произвольно заданной непрерывной функции ϕ пере менные не разделяются, однако поскольку в правую часть пере

менные входят только в комбинации y , то можно предположить, x

что уравнение упростится, если ввести новую искомую функцию:

u = y , x

откуда

17

если вставить выражение dy = u + x du в уравнение (2), то по

dx dx

лучится:

u + x du = ϕ(u), dx

или

Если обе части разделить на х[ϕ(u) — u], то переменные разде лятся, и получится:

du = dx . (u)−u x

После интегрирования можно найти:

Если в этом выражении заменить u его значением y , то полу

x

чится интеграл уравнения (2).

Уравнения, приводимые к однородным

Рассмотрим уравнение

где a, b, …, c1 — данные постоянные. Если с = c1 = 0, то уравнение является однородным, которое можно проинтегрировать. В об щем случае его нужно свести к однородному. Вводим новые пере менные: x = ξ + h, у = ηk, где h и k — пока еще неопределенные

18

постоянные. Мы имеем: dx = dξ , dy = η d, подставляя их в урав нение (15), имеем:

Если теперь выбрать h и k как решения системы линейных уравнений :

В его интервале следует заменить ξ через x — h, η через y — k, где h и k имеют вышеуказанные значения, в результате получится интеграл уравнения (32). Система (16) не имеет решения, если определитель из коэффициентов при неизвестных равен нулю: ab1 — a1b = 0. В этом случае такой метод неприменим. Однако если в этом случае a1 = b1 = λ , а значит, уравнение имеет вид:

ab

Его можно привести к виду с разделяющими переменными, если ввести новую переменную:

z = ax + by.

19

Тогда dz = a + b dy , и уравнение (8) примет вид: dx dx

Другими словами, мы получим уравнение, не содержащее яв но x, — переменные разделяются.

Геометрические свойства семейства интегральных кривых

Рассмотрим уравнение, не содержащее явно у:

Если в нем сделать замену переменного

где С — постоянная. Поскольку dx = dx1, dy = dy1, то уравнение перейдет само в себя. Таким образом, если F(x, у) = 0 — частный интеграл уравнения (1), то

тоже будет являться интегралом при любом С. Если общий инте грал дифференциального уравнения имеет вид (11), то исключе ние произвольного постоянного приведет к уравнению вида (9). Преобразование (10) геометрически состоит в том, что все точки плоскости (х, у) переносятся на равную величину С параллельно оси у (перенос). Дифференциальное уравнение (9) допускает пре образование (9), т. е. поле направлений после такого переноса совпадает с первоначальным (так как линии х = х0, параллельные

20

оси Оу, являются изоклинами). Угловой коэффициент на такой прямой имеет постоянное значение f(x0). Также семейство инте гральных кривых переходит при переносе (10) само в себя, при этом каждая отдельная кривая F(х, у, С ') = 0 переходит в другую кривую:

Аналогично обстоит дело с уравнением типа

которое допускает группу преобразований:

x1 = x + C, y1 = y.

Здесь подразумевается группа переносов параллельно оси х. Ту же группу допускает семейство интегральных кривых, а общий интеграл получается из частного заменой х на х + С.

4. Линейные уравнения

Линейное уравнение первого порядка — это уравнение, линей ное относительно искомой функции и ее производной, которое имеет вид:

A dy + By + C = 0. dx

Здесь коэффициенты А, В, С — заданные непрерывные функ ции от х. Предполагая, что в некотором интервале изменения х коэффициент А не обращается в нуль, мы можем разделить все

21

члены уравнения на этот коэффициент. Обыкновенно линейное уравнение пишут в виде:

где Р, Q — заданные функции от х. Если Q = 0, то уравнение имеет вид:

Уравнение (2) — это линейное однородное уравнение (или без правой части), уравнение (1) — неоднородное. Однородное линей ное уравнение (2) интегрируется разделением переменных и од ной квадратурой:

dy = −Pdx, ln|y |= −∫Pdx + ln|C |; y

его общее решение —

Для нахождения общего решения уравнения (2), в котором Р обозначает ту же функцию, что и в уравнении (3), нужно приме нить прием, который называется вариацией постоянного. Мы бу дем пытаться удовлетворить неоднородному уравнению (2) реше нием того же вида (3), но будем в этой формуле считать С не постоянной, а неизвестной функцией от х. Подставляя в этом предположении правую часть выражения (3) в уравнение (1), по лучим:

dC e− ∫Pdx − CPe − ∫Pdx + CPe− ∫Pdx = Q, dx

22