Лекции / Дифференциальные уравнения. Конспект лекций

Теперь оценим сверху выражение, стоящее справа в равенстве (17). В силу неравенств (16) и (18) получим:

Такое предположение допустимо, потому что в начальный мо мент t = t0 величины уk можно предполагать как угодно малыми, в частности удовлетворяющими неравенству (20), а в силу непре рывной зависимости решений нашей системы от начальных

153

условий неравенство (20) будет иметь место в некоторой окрест ности значения t = t0. Тогда неравенство (19) перепишется так:

откуда, разделяя переменные и интегрируя от t0 до t, получим:

n

Из неравенства (21) видно, что ∑ yk2 (t ) монотонно убывает и стре

k =1

мится к нулю при t → ∞ . Поэтому, если неравенство (20) выпол нено в начальный момент t0, то оно будет выполнено при всех значениях t > t0. Следовательно, и неравенство (21) справедливо при всех t > t0, если только при t = t0 неравенство (20) имело место. Из неравенств (14) и (15) следует, что

тривиальное решение системы (6) устойчиво. Отметим также, что, как видно из неравенства (22), все xk(t) стремятся к нулю при t → ∞ . Таким образом, теорема доказана.

154

4. Теорема. Если:

1) все корни характеристического уравнения первого при ближения (7) отрицательны;

2) все функции ϕi (t, x1, x2, ..., хn) в системе (6) удовлетворяют условию (11), то тривиальное решение системы (6) устойчиво.

Доказательство. Пусть система уравнений (6) приведена

k=1

то оценка (16) имеет место и в этом случае, где α > | α ik |. Пусть

λn ≤ λn −1 ≤ ... ≤ λ1 = −ω , где ω > 0. Умножая первое уравнение системы (23) на y1 второе — на у2 и т. д. и складывая их и затем за

где штрих у знака средней суммы означает, что при суммировании вы пускаются значения i = e1 е1 + е2, ..., n — еk, n. Применяя неравенство

155

Выберем теперь положительное число γ так, чтобы —ω + γ было отрицательным, и положим: —ω + γ = —ω 1, где ω 1 > 0. Последнее слагаемое в неравенстве (25) оцениваем так же, как это было сделано при получении неравенства (19), тогда:

Неравенство (26) совершенно такое же, как и неравенство (19), только поэтому, поскольку из неравенства (19) следовала устойчивость тривиального решения системы (6), то и из нера! венства (6) будет следовать устойчивость этого решения. Тем же методом, каким мы доказали первые две теоремы, можно дока! зать и следующую, их обобщающую теорему.

Содержание

ЛЕКЦИЯ №1. Общие понятия.

Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2. Метод разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 3. Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 4. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

ЛЕКЦИЯ № 2. Вопросы существования решений уравнения первого порядка,

разрешенного относительно производной . . . . . . . . . . . . . . . 25 1. Особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2. Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

ЛЕКЦИЯ № 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной . . . . . . . . . . . . . 36

1. Уравнения первого порядка n й степени . . . . . . . . . . . .36 2. Уравнения, не содержащие явно одного из переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 3. Общий метод введения параметра.

Уравнения Лагранжа и Клеро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 4. Особые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 5. Задача о траекториях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

157

ЛЕКЦИЯ №4. Дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1. Теорема существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 2. Типы уравнений n го порядка,

разрешаемые в квадратурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 3. Промежуточные интегралы.

Уравнения, допускающие понижение порядка . . . . . . . . .77 4. Уравнения, левая часть которых является точной производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

ЛЕКЦИЯ №5. Общая теория линейных дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . 86

1. Определения и общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 2. Общая теория линейного однородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

3. Неоднородные линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . .103 4. Сопряженное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

ЛЕКЦИЯ №6. Частные виды линейных дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . 113

1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

и приводимые к ним . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 2. Линейные уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . .129

ЛЕКЦИЯ №7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . 132

158