Лекции / Дифференциальные уравнения. Конспект лекций

1) α не является корнем характеристического уравнения, F(α ) ≠ 0. Мы докажем, что в этом случае существует частное решение того же вида, что и правая часть, именно:

где Qm(x) = qmxm + qm—1xm—1 + … +q0. Рассматривая коэффи циенты qm, qm—1..., q0 как неизвестные, покажем, что их можно

определить так, чтобы выполнялось следующее тождество по х:

L[Qm(x) eα x] = Pm(x)eα x,

или

Мы можем вычислить левую часть, применяя формулу (17); мы найдем, обозначая по прежнему характеристический мно гочлен через F(α ):

Приравнивая выражение (30) многочлену Рm(х) и отождест вляя коэффициенты при одинаковых степенях х, получим m + 1 уравнений с m + 1 неизвестными q0, q1, ..., qm

123

F(α ) ≠ 0. Система (31) дает возможность последовательно вычислить qm, qm—1..., q0:

и т. д. Таким образом, мы находим искомое частное решение (28) (разрешимость системы (31) относительно q0, q1, ..., qm

можно сразу усмотреть из того, что ее определитель равен [F(α )]m+1 ≠ 0);

2) пусть теперь является корнем характеристического уравне ния кратности r > 1. Тогда F(α ) = F/(α ) = … = F (r—1)(α ) = 0,

F(r)(α ) ≠ 0. Формула (19) показывает, что в этом случае

L[eα xxm] есть произведение e x на многочлен степени m — r. Чтобы получить в результате подстановки в левую часть ура внения eα x, умноженное на многочлен степени m, естествен но искать частное решение в этом случае в виде:

124

Подставляя это выражение в уравнение (27) и требуя, чтобы (26) было решением уравнения, мы приходим к условию:

Подставляя выражение (34) в равенство (33) и приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях х в об$ еих частях равенства (26/), опять получаем систему m + 1 ура$ внений для определения q0, q1, q2,…, qm:

125

Определитель системы (35) равен

поэтому все неизвестные qi(i = 0, 1, 2, ..., m) определяются одноз начно, и мы получаем решение вида (26). Итак, мы приходим к следующему результату: частное решение линейного уравне ния с постоянными коэффициентами и с правой частью вида

Рm(x)eα x может быть найдено в виде:

где r > 0 есть кратность корня а характеристического уравнения,

Qm есть многочлен той же степени, что и Рm. На практике для на хождения частного решения обычно его пишут в форме (28) или (32) с неопределенными коэффициентами у многочлена Qm(x). Подставляя это выражение частного решения в заданное ура внение, сокращая на eα x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получают систему линейных уравнений для этих коэффициентов. По доказанному, эта система всегда имеет определенные решения.

3. Применение тригонометрических рядов к нахождению част ного решения. В приложениях часто встречаются уравнения вида:

L[y] = V(x), где L[y] — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, a V(x) — периодическая функ ция, период которой предположим равным 2π . Для простоты рас суждений мы предположим, что оператор L — второго порядка и не содержит члена с первой производной, т. е. L[y] ≡ y'' + qy. Функцию

V(x) мы будем писать в виде разложения в тригонометрический ряд Фурье. Итак, имеем уравнение:

126

где q — постоянное. Ищем частное решение Y(x) тоже в виде три гонометрического ряда с неопределенными коэффициентами:

Подставляем ряд (38) в уравнение (37) и подбираем его коэф фициенты так, чтобы равенство (37) удовлетворялось формально (т. е. мы пока не ставим вопроса о сходимости входящих в рассуж дение рядов). Приравнивая свободные члены, имеем:

или

q A0 = a0 ,

22

откуда

A0 = a0 . q

Сразу видно первое необходимое условие существования ре шения вида (38): если а0 ≠ 0, то необходимо q ≠ 0 (если q = 0 и а0 = 0, то коэффициент А0 остается неопределенным).

Затем приравниваем в обеих частях члены, содержащие cosnx

Раскрываем левую часть, замечая, что L[cosnx] = (—n2 + q)cosnx, L[sinnx] = (—n2 + q)sinnx.

127

Приравнивая далее коэффициенты при cosnx и sinnx в обеих частях (39), находим:

Для того чтобы формулы (40) имели смысл, необходимо, чтобы не было —n2 + q = 0. Но равенство возможно только, если q = n2, т. е. для оператора L[y] = y'' + n2y. В этом случае однородное ура внение имеет периодическое решение с частотой n, и член правой части аncosnx + bnsinnx находится в резонансе с этим решением; по этому a priori (от лат. a priori — заложенное изначально) нельзя ожи дать периодического решения (если при этом аn = bn = 0, то резо нанса не будет, периодические же члены Аncosnx + Bnsinnx

с произвольными An, Bn входят в общее решение однородного ура внения). Итак, предполагая, что резонанса нет, мы получаем фор мальное решение уравнения (30) в виде тригонометрического ряда:

Остается доказать, что ряд (41) действительно сходится и удо влетворяет уравнению (37). Это легко вытекает из следующих сооб ражений. Коэффициенты Фурье аn, bn функции V(x) по известному свойству коэффициентов Фурье стремятся к 0; следовательно, на чиная с некоторого n, имеем | an | < 1, | bn | < 1. Однако множитель

a0 для достаточно большого n положителен и не превы 2q

шает A (А > 0 — постоянное). Итак, члены ряда (41), начиная с неко n2

рого, не превышают по абсолютной величине соответствующих членов сходящегося числового ряда ∑ 2nA2 , т. е. ряд (41) сходит!

ся равномерно. Докажем, наконец, что найденная функция Y(х) удовлетворяет уравнению (37). Составим выражение: —qY + V(x);

128

непрерывная функция x; ее ряд Фурье, получаемый как линейная комбинация рядов для Y и V, в силу формул (37) и (41) будет:

Получившийся ряд Фурье есть дважды продифференцирован ный ряд (41); следовательно, представляемая им непрерывная функция есть вторая производная от Y(x), и мы имеем тождество: Y''/(x) = —pY + V(x), т. е. Y(x) удовлетворяет уравнению (37). Тот же метод и то же рассуждение применяются к уравнению n го порядка:

m=1

с постоянными коэффициентами. Коэффициенты решения для n = 4 имеют значения:

2.Линейные уравнения второго порядка

1.Приведение к простейшим формам. Мы будем рассматри вать однородные линейные уравнения второго порядка с пере менными коэффициентами:

129

или же

p0(х)у'' + p1(х)у' + р2(х)у = 0. (2)

Коэффициенты Р, Q или р0, р1, р2 будем предполагать непре рывными функциями от х. Рассмотрим некоторые упрощенные формы уравнения второго порядка. Как известно самосопряжен ное уравнение второго порядка имеет вид:

Докажем, что всякое уравнение второго порядка может быть приведено к самосопряженной форме умножением на некоторую функцию от х. Уравнение (3), написанное в раскрытом виде, py'' + p'y' + qy = 0, показывает, что коэффициент при у' есть про изводная от коэффициента при у''. Умножим обе части уравнения

(2) на некоторую функцию μ (x) и постараемся подобрать эту функцию так, чтобы для нового уравнения выполнялось условие: ( μ p0(x))' = μ p1(x). Преобразуем это уравнение для μ :

p0μ '+p'0 μ = p1μ,

μ' = p1 − p'0 ,

μp0

По умножении на μ уравнение (2) примет вид:

130

ЛЕКЦИЯ № 7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Существование производных по начальным значениям от решений системы

1. Докажем следующую лемму.

Лемма. Если правые части системы дифференциальных ура внений

являются непрерывными функциями переменных х, у1, у2 ..., уn и параметра λ в области

∂fi

и если в той же области непрерывны частные производные ∂yk

(i = 1, 2, …, n), то решение, определенное начальными данными (х0, у10, у20, ..., уn0), является непрерывной функцией параметра λ при λ1 ≤ λ ≤ λ2 . Для доказательства заметим, что из условия не прерывности функций fi в области (2) следует их ограниченность

∂fi

в этой области: | fi | (i = 1, 2, …, n), а из непрерывности ∂yk следует

∂fi

также их ограниченность: ∂yk <K (i = 1, 2, …, n). Последние неравенст

ва влекут за собой выполнение условий Липшица для функций fi по отношению к аргументам у1, у2 ..., уn:

|fi(x, y'1,…, y'n; λ ) – fi(x, y''1,…, y''n; λ )| < K{|y'1 – y''1| + … + |y'n – y''n|}.

132