Тема 2. Теория игр

Пример выполнения задачи №4. Найти решение игры, заданной матрицей, аналитически, предварительно сведя игру к игре вида 2 × 2, применив доминирование стратегий.

	В1	В2	В3				В1	В3
А1	2	4	6			А1	2	6
А2	1	3	4			А3	5	3
А3	5	6	3

В процессе доминирования стратегий удалим стратегию А₂, так как при всех стратегиях противника выигрыш игрока А при этой стратегии ниже, чем при стратегии А₁. Далее удалим заведомо невыгодную для противника стратегию В₂, потому что при любой стратегии игрока А его выигрыш в случае применения этой стратегии выше, чем при использовании противником стратегии В₁.

В данной игре нижняя цена игры α = 3, а верхняя цена игры β = 5. Поэтому игра не имеет седловой точки и решения в чистых стратегиях. Будем искать решение игры в смешанных стратегиях аналитическим методом для игры вида 2 × 2. Для этого составим и решим систему уравнений:

Таким образом:

Пример выполнения задачи №5. Найти решение игры, заданной матрицей, графически, предварительно сведя игру к игре вида 2 × m или m × 2, применив доминирование стратегий.

	В1	В2	В3	В4			В2	В3	В4
А1	5	3	2	4		А1	3	2	4
А2	4	3,2	4	3		А2	3,2	4	3
А3	3	3	3	3

В процессе доминирования стратегий удалим стратегию А₃, так как при всех стратегиях противника выигрыш игрока А при этой стратегии ниже, чем при стратегии А₂. Далее удалим заведомо невыгодную для противника стратегию В₁, потому что при любой стратегии игрока А его выигрыш в случае применения этой стратегии выше, чем при использовании противником стратегий В₃ и В₄.

Изобразим геометрически стратегии противника прямыми В₂ с уравнением , В₃ с уравнением , В₄ с уравнением в прямоугольной системе координат на плоскости , а выигрыши игрока А будем откладывать на прямых А₁ и А₂ при использовании соответствующих стратегий.

Частота будет равна абсциссе, а цена игры равна ординате наивысшей точки нижней ломанной границы согласно «максиминной» стратегии, так как имеет место игра вида 2 × m.

Если бы имела место игра вида m × 2, то прямыми изображались бы стратегии игрока А, выигрыши игрока А откладывались бы на прямых В₁ и В₂, а в качестве точки с абсциссой, равной частоте , бралась бы низшая точки верхней ломанной границы согласно «минимаксной» стратегии.

Из построенного чертежа видно, что полезными стратегиями противника являются стратегии В₂ и В₄. Для нахождения координат «максиминной» точки решим систему уравнений:

Для того, чтобы найти оптимальную смешанную стратегию противника, решим систему:

Таким образом:

Пример выполнения задачи №6. Найти решение игры, заданной матрицей, симплекс-методом, предварительно сведя игру к двойственной задаче линейного программирования и применив доминирование стратегий.

	В1	В2
А1	0	4
А2	4	1
А3	1	3

В данной игре нет заведомо невыгодных стратегий, поэтому проводить доминирование стратегий не будем.

Сведем данную игру к задаче линейного программирования с ограничениями-неравенствами:

Сведем полученную задачу к двойственной задаче линейного программирования с ограничениями-равенствами:

Составим симплекс-таблицу и осуществим ее пересчет нужное число раз:

	1	0	4				1	0	4					0
	0	0	0					0
	1	4	1							1
								0
	1	1	3	1
								0
	0	1	1
								0

Чтобы найти оптимальную стратегию противника, нужно все выигрыши в матрице игры умножить на (- 1), т.к. мы рассматриваем игру с нулевой суммой. Но игра сводится к задаче линейного программирования только при условии неотрицательных выигрышей. Поэтому к каждому выигрышу противника прибавим 4, а потом эту величину вычтем из цены игры.

	В1	В2			В1	В2
А1	0	-4		А1	4	0
А2	-4	-1		А2	0	3
А3	-1	-3		А3	3	1

Сведем данную игру к задаче линейного программирования с ограничениями-неравенствами:

Сведем полученную задачу к двойственной задаче линейного программирования с ограничениями-равенствами:

Составим симплекс-таблицу и осуществим ее пересчет нужное число раз:

	1	4	0	3					0						0
			0				0	0	0	0
	1	0	3	1			1	0	3	1				0
	0	0	0	0				0
	0	1	1	1					1
			0					0