11. Вывод уравнения Лагранжа 2 рода.

Общее уравнение динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq₁ (δ/ δt *( δT/ δq₁) – δT/ δq₁ -Q₁) + δq₂(δ/ δt - δT/ δq₂ – δT/ δq₂ – Q₂) + … + δq_S(δ/ δt - δT/ δq_S – δT/ δq_S - Q_S) = 0

Где q₁, q₂,…, q_S – обобщённые координаты, q₁, q₂,…, q_S - обобщённые скорости, δq_1, δq₂,…, δq_S - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,

Q₁, Q₂,…, Q_S - обобщ. силы системы, Т – кин. энергия системы. Т.к. δq_1, δq₂,…, δq_S в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.

δ/ δt *( δT/ δq₁) – δT/ δq₁ = Q₁ } – уравнение Лагранжа 2 рода.

δ/ δt *(δT/ δq₂) – δT/ δq₂ = Q₂ }

5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с zугловой скоростью ω (рис). Вычислим кинети. момент этого тела относительно оси его вращения. Момент количества движения точкиM_iтело относительно осиz: гдеL_iz = m_iυ_iz_i (a),r_i- радиус окружности описываемой точкойM_i; υ_i=r_iω - алгебраическая величина вращательной скорости точкиM_i. Подставляя в (а) это значение υ_i, получаемL_iz=m_ir_i²ω. Кинетический момент твердого тела относительно осиz: ЗдесьL_z= ∑L_iz= ∑m_ir_i²ω = ω∑m_ir_i², ∑m_ir_i² =J_z - момент инерции твёрдого тела относительно осиz. Таким образом,

L_z = J_zω (в)т.е. кинет. момент вращающегося тела относительно неподвижной оси его вращения = произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела.

Рассмотри изменение кинет. момента тела относительно оси z под действием приложенных к нему задаваемых внешних сил P₁^E, P₂^E,…, P_n^E

Теорема об изменении кинет. момент мех. сис. выражается уравнением:

dL_z /dt = ∑ M_iz^E (г). Реакции подшипника В и подпятника А явл. внешними силами, но при отсутствии трения их моменты относительно оси z = 0 и правая часть уравнения (г) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения. Так как по (в): L_z = J_zω = J_zφ , то dL_z/dt = J_zφ, а потом уравнение (г)принимает вид: J_zφ = ∑ M_iz^E (е). Уравнение (е)представляет собой диф. уравн. вращения тв. тела вокруг неподвижной оси.

12. Динамические давления в гироскопе.

Пользуясь теоремой Резаля и формулой u = L_cω₁ = J _ζωω₁, получаем

M_C^E = u = J_ζωω_1, тогда динамические реакции подшипников

R_A^дин =R_B^дин=J_ζωω₁/AB

Давление рамы на подшипники противоположны по направлению соответсвующим реакциям подшипников и равны им по модулю.

P_A^дин = -R_A^дин; P_B^дин = -R_B^дин; P_A^дин = P_B^дин = J_ζωω₁/AB

2. Диф. уравнение движения свобод. мат. точ. в декарт.

mx = ∑ P_кx }; my =∑ P_кy }; mz =∑ P_кz }

3. Естественные уравнения движения мат. точки.

0 = ∑ P_ко

md²s/ dt² = ∑ P_i cos (P_i, τ);

mυ²/ρ = ∑ P_i cos (P_i, n).

8. Диф. уравнение свободных колебаний мат. т. и уравнение гармон. колебательного движения точки.

x + k²x = 0 - Диф. уравнение свободных колебаний мат.

x = A sin(kt+β) - уравнение гармон. колебательного движения точки.

9. Амплитуда и т.д для свободных колебаний.

A = √x²_o + (x₀/k)².

10. Диф. уравнение затухающих колебаний.

x + 2nx + k²x = 0 - Диф. уравнение.

x = Ae^-nt sin (√k² – n²t + β);

x = Ae^-ntsh (√n² – k²t + β) – апериодическое уравнение.

11. Период затухающих колебаний, декремент и т.д.

T* = T/√1 – (n/k)²;

e^-nT*/2 – декремент, -nT*/2 – логарифмич. декрмент.

n = α/2m – коэф. затухания. k* = √k² – n²

12. Диф. уравнение вынужден. кол.

x + k²x = hsin (pt + δ)

13. Амплитуда и фаза вынуж. кол.

p<k, pt + δ – фаза

A_B = h/(k² – p²)

p>k, pt + δ – π

A_B = h/(p² – k²).

14. Движение при резонансе.

x + k²x = h sin (kt + δ),

или x = C₁ cos kt + C₂ sin kt - h/(2k)*t cos (kt + δ).

15. Основное уравнение динамики относительного движения.

mā_r = ∑P_i + Ф_е + Ф_с

17. Принцип относительности.

Никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного поступательного движения.

19. Формулы, определяющие центр масс системы.

x_c = ∑m_ix_i/m, y_c = ∑m=y_i/m, z_c = ∑m_iz_i/m

21. Моменты инерции твёрдого тела.

Моментом инерции твёрдого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до плоскости.

J_yOz = ∑m_ix_i²; J_zOx = ∑m_iy_i²; J_xOy = ∑m_iz_i².

Моментом инерции твёрдого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.

J_x = ∑m_i (y_i² + z_i²); J_y = ∑m_i (z_i² + x_i²); J_z = ∑m_i(x_i² + y_i²).

Моментом инерции твёрдого тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до этого полюса.

J_o = ∑m_ir_i² = ∑m_i (x_i² + y_i² + z_i²).