0. Задания для аудиторных занятий

1. Представить в тригонометрической форме комплексные числа.

1) ;

2) ;

3) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) .

2. Выполнить действия:

1)

Решение: ,

.

2) ;

3) .

Ответы: 2) ; 3) .

0. Задания для самостоятельной работы

1. Представить в тригонометрической форме комплексные числа.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

2. Записать число в алгебраической форме.

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. ;

   5. ;

   6. ;

   7. ;

   8. ;

   9. ;

   10. ;

   11. ;

   12. ;

   13. ;

   14. ;

   15. ;

   16. ;

   17. ;

   18. ;

   19. ;

   20. ;

   21. ;

   22. ;

   23. ;

   24. ;

   25. ;

   26. ;

   27. ;

   28. ;

   29. ;

   30. .

4. Возведение в степень и извлечение корня

0. Основные определения

Формула для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции, легко получить следующий результат: модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей всех сомножителей, сумма аргументов сомножителей является аргументом их произведения. Отсюда получается формула

,

которая носит название формулы Муавра. Она имеет широкое применение и, в частности, используется при извлечении корней из комплексных чисел.

Пример 12. Вычислить .

Сначала представим дробь в тригонометрической форме

.

Перейдём к операции извлечения корня из комплексных чисел.

Число называется корнем степени из числа (обозначается ), если .

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени из числа . Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени из числа , достаточно решить уравнение .

Если , то при любом уравнение имеет одно и только одно решение . Если , то и , а следовательно, и , и можно представить в тригонометрической форме:

, .

Тогда

.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратным 2π. Следовательно

,

или

и , .

Итак, все решения уравнения могут быть записаны следующим образом:

,

где .

При других целых значениях мы не получим других комплексных чисел. Геометрически точки представляют собой вершины правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в 0.

Пример 13. Найти все значения .

Запишем число в тригонометрической форме

.

Применяя формулу извлечения корня, получим

;

;

;

.

На рис. 8 изображены все четыре значения . Точки, соответствующие числам находятся в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в 0.

Рис. 8.