Министерство здравоохранения и социального развития Российской Федерации

Санкт-Петербургская государственная химико-фармацевтическая академия

Кафедра высшей математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Для выполнения работ по теме:

«Комплексные числа»

Санкт-Петербург

2006

Введение

В процессе своего развития человечество не раз сталкивалось с необходимостью расширения понятия числа. Для счёта сначала использовались натуральные числа, но их оказалось недостаточно для выполнения деления. Появились дробные положительные числа; затем необходимость выполнения вычитания привела к понятиям нуля и отрицательных чисел, далее необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Но и множества действительных чисел не хватает для решения любого алгебраического уравнения. Например, простейшее квадратное уравнение не имеет корней среди действительных чисел, значит, опять нужны новые числа, отличные от действительных. Эти новые числа носят название комплексных. В курсе высшей математики, изучаемой на БТФ, комплексные числа используются при интегрировании дробно-рациональных выражений, при решении дифференциальных уравнений, извлечении корней любой степени. Кроме того, изучение комплексных чисел развивает логическое мышление. В настоящих методических указаниях наряду с рассмотрением теоретических положений разбираются примеры, приводятся задания для аудиторных занятий и самостоятельной работы. Выполненные в письменном виде задания студенты должны сдать преподавателю, а потом защитить их. При защите необходимо ответить на любой теоретический вопрос. Перечень контрольных вопросов приведён в конце издания.

Рекомендуемая литература

1. Курош А. Г. Общая алгебра: Лекции 1969-1970 уч. г. М.: Наука, 1974. 159 с.

2. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. 288 с.

3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1978. 352 с.

Определение комплексных чисел и основные опереции над ними

Между действительными числами и точками координатной прямой взаимно-однозначное соответствие, поэтому новые числа приходится располагать уже не на прямой, а на плоскости. Однако, каждой точке М на плоскости можно поставить во взаимно-однозначное соответствие 2 числа (a, b) – координаты этой точки. Заметим, что пара этих чисел строго упорядочена, т. е. если

, то .

Рассмотрим множество всех упорядоченных пар действительных чисел и введем для них понятие «сложение» и «умножение».

Пусть ,

тогда (1)

называется суммой этих чисел. Сложение обладает следующими свойствами:

1. - коммутативность;

2. - ассоциативность;

3. ,

«0» и обратного числа.

Произведением называется число

. (2)

Умножение обладает следующими свойствами:

1. - коммутативность;

2. - ассоциативность;

3. , ;

4. ,

,

«1» и обратного числа ;

5. - дистрибутивность.

Для точек плоскости с введенными правилами сложения и умножения (1), (2) выполняются все аксиомы действительных чисел.

Определение. Множество всех точек плоскости с введенными правилами сложения и умножения (1), (2) называется множеством комплексных чисел, а сами точки плоскости – комплексными числами.

Замечание. Легко показать, что множество комплексных чисел С «включает» в себя множество действительных чисел R. Для этого достаточно поставить во взаимно-однозначное соответствие множество действительных чисел а с множеством комплексных чисел типа (а, 0) и заметить, что сложение и умножение комплексных чисел этого типа не выводят за рамки чисел (а, 0). В дальнейшем полагаем, что действительное число а=(а, 0), в частности, будем писать 0 вместо (0, 0) и 1 вместо (1, 0).

Горизонтальная ось, на которой расположены действительные числа, называется действительной или вещественной осью.