33. Выполнимость и удовлетворимость ппф

Если ППФ имеет значение Т ("истина") для всех возможных интерпретаций, то она называется выполненной (тавтологией) [11]. Пример: .

Метод таблицы истинности может всегда определить выполнимость любой ППФ, не содержащей переменных.

Теорема о неразрешимости исчисления предикатов: Невозможно найти универсальный метод установления факта выполненности квантифицированных ППФ.

Если ППФ выполнена, то существует процедура, позволяющая установить выполнимость этой ППФ (полуразрешимость).

Интерпретация удовлетворяет множеству ППФ, если каждая ППФ этого множества имеет значение Т ("истина") при этой интерпретации.

ППФ логически следует из множества S ППФ, если каждая интерпретация, удовлетворяющая системе S, удовлетворяет также и (но взаимной однозначности нет).

34. Алгоритм преобразования предикатов в предложения

Предложение – правильно построенная формула (ППФ), состоящая из дизъюнкции литералов (предикатов) [11].

Теорема: Любая ППФ исчисления предикатов может быть преобразована во множество предложений.

Пример ППФ: .

Этапы преобразования:

1. Исключение символов импликации подстановкой вместо : .

2. Ограничение области действия символа отрицания одной атомарной формулой (закон Моргана): .

3. Разделение квантофицированных переменных: . Переменные переименовываются так, чтобы каждый квантор имел свою переменную.

4. Исключение кванторов существования путем введения сколемовской функции. Эта функция в качестве аргументов должна содержать переменные, связанные кванторами общности, в область действия которых попадает исключаемый квантор существования. Если не входит в область действия никакого , то вводится просто константа: . , – сколемовская функция.

5. Преобразование в предварительную форму: все перемещаются в начало ППФ: .

6. Приведение матрицы ППФ к конъюктивной нормальной форме. Используется замена : .

7. Исключение кванторов общности. Предполагается, что все переменные относятся к .

8. Исключение символов (конъюнкции). Переход к множеству ППФ, каждая из которых является дизъюнкцией литералов, т.е. предложений.

9. Переименовывание переменных. Символы переменных должны быть изменены так, чтобы каждый присутствовал только в одном предложении:

.

35. Резолюция и резольвента

Резолюция - правило вывода, применяемое к ППФ в виде предложений [9,11]. Метод резолюций предложен Д. Робинсоном в 1965 году и служит основой для создания алгоритмов автоматического доказательства теорем и формирования ответов на вопросы. Структура метода приведена далее.

Дано: .

Результат: (резольвента).

Резольвента логически следует из своих порождающих предложений.

Если предложения содержат переменные и задаются множеством литералов и , соединенных знаком дизъюнкции , и если можно определить соответствующие подмножества и , такие, что для объединения и существует наиболее общий унификатор, то резольвента имеет вид:

.

Два предложения могут иметь более одной резольвенты. Количество резольвент равно количеству способов выбора подмножеств и .