Алгоритм метода потенциалов

Пусть имеется матрица перевозок, соответствующая начальному решению х_ij= (распределенные ресурсы), x_ij для свободных переменных (ресурсы не рас-пределены). Клетки, соответствующие свободным ресурсам, помечены звездочками.

В крайний правый столбец матрицы введем неизвестные u_i, а в нижнюю строку – неизвестные v_j. Эти n и m неизвестных должны для всех i, j, соответствующих базисным переменным, удовлетворять линейной системе уравнений

u_i  v_j  c_ij, (1)

Можно доказать, что эта система для всех базисных решений имеет треугольный вид. Её ранг равен nm1, и, следовательно, систему всегда можно решить следующим способом. На первом шаге полагают v_n . Если на k-м шаге найдено значение неизвестной, то в системе всегда имеется еще не определенная неизвестная, которая однозначно может быть найдена на (k+1)-м шаге из уравнения (1), так как значение другой неизвестной в этом уравнении уже известно. Это верно до тех пор, пока не найдены все неизвестные. То, какую неизвестную можно найти на (k+1)-м шаге, определяют методом проб. Переменные u_i и v_j называются потенциалами.

1. Составим и решим систему уравнений (1).

Как было отмечено, уравнения составляются для клеток, в которые распределены ресурсы.

2. Определим расчетные значения затрат z_ij для клеток, в которые ресурсы не распределены (со свободными переменными):

z_ij  u_i v_j;

3. Вычислим разность заданных и расчетных затрат _ij  c_ij  z_ij и проверим условие оптимальности _ij  0.

Если все _i  0, то исходный план является оптимальным, и переходят к пункту 5, в противном случае переходят к построению нового плана.

4. Построим новый план (уточним опорный план).

Выберем _равное максимальному по модулю _ij из состава отрицательных _ij, т.е.

_max _i _ij .

Индексом ,помечена свободная переменная x_, которая соответствует _. Соответствующую клетку транспортной таблицы отметим знаком “+”.

Кроме клетки ,транспортной таблицы, пометим знаками «–» и «+» другие клетки, в которые ресурсы распределены таким образом, что в каждой строке и столбце транспортной таблицы число знаков «+» будет равно числу знаков «–». Это всегда можно сделать единственным образом, причем в каждой строке и в каждом столбце содержится максимум по одному «+» и «–».

Проставленные в таблице знаки «+» и «–» образуют прямоугольник, в углах которого расположены соответствующие знаки. Указанный прямоугольник далее представляется в виде фрагмента матрицы, который состоит из четырех клеток. В этих клетках производят перераспределение ресурсов (рис. 6).

		
 			 
			

Рис. 6. Фрагмент матрицы

Затем определяем минимум M из всех элементов, помеченных знаками «–», и выбираем одну клетку  где этот минимум достигается. При этом  обозначает клетку, в которую ресурсы далее распределяться не будут, а все ее содержимое будет распределено между остальными тремя клетками по следующему правилу:

а) в клетку, соседнюю клетке  новой таблицы записывается число M;

б) клетка  остается пустой;

г) в остальных клетках, помеченных знаками «» и «–», число M вычитается из стоящего в клетке числа или складывается с ним, в соответствии со знаками;

д) содержимое клеток фрагмента переносится в матрицу, а остальные клетки остаются без изменений;

Таким образом, получили новую матрицу, содержащую новый план.

5. Определим значение целевой функции, с учетом перераспределения в мат-рице (уточнение матрицы проводится до тех пор, пока хотя бы одно значение _i <0).

Улучшим опорный план, который был получен ранее.

1. Составим и решим систему уравнений (1).

u₁ + v₃ = 24 = c₁₃;

u₂ + v₂ = 18 = c₂₂;

u₃ + v₁ = 19 = c₃₁;

u₃ + v₂ = 10 = c₃₂;

u₃ + v₃ = 100 = c₃₃;

u₄ + v₁ = 3 = c₄₁;

u₄ + v₄ = 8 = c₄₄.

Таким образом, имеется семь уравнений и восемь неизвестных, поэтому одному из неизвестных дается произвольное значение, как правило, для облегчения расчетов рекомендуется задаваться нулевым значением. Например u₃  0, тогда, решая последовательно соответствующие уравнения, получаем v₁19; v₂10; v₃100; v₄24; u₁76; u₂8; u₃0; u₄16.

2. Определим значения z_ij для клеток, в которые ресурсы не распределены.

z₁₁ = u₁ + v₁ = –76 + 19 = –57;

z₁₂ = u₁ + v₂ = –76 + 10 = –66;

z₁₄ = u₁ + v₄ = –76 + 24 = –52;

z₂₁ = u₂ + v₁ = 8 + 19 = 27;

z₂₃ = u₂ + v₃ = 8 + 100 = 108;

z₂₄ = u₂ + v₄ = 8 + 24 = 32;

z₃₄ = u₃ + v₄ = 0 + 24 = 24;

z₄₂ = u₄ + v₂ = –16 + 10 = –6;

z₄₃ = u₄ + v₃ = –16 + 100 = 84.

Определим значения _ij и проверим условия оптимальности _αβ

δ₁₁ = с₁₁ – z₁₁ = 70 – (–57) = 127 > 0;

δ₁₂ = с₁₂ – z₁₂ = 38 – (–66) = 104 > 0;

δ₁₄ = с₁₄ – z₁₄ = 92 – (–52) = 144 > 0;

δ₂₃ = с₂₃ – z₂₃ = 56 – 108 = –52 < 0;

δ₂₄ = с₂₄ – z₂₄ = 72 – 32 = 40 > 0;

δ₃₄ = с₃₄ – z₃₄ = 30 – 24 = 6 > 0;

δ₄₂ = с₄₂ – z₄₂ = 36 – (–6) = 42 > 0;

δ₄₃ = с₄₃ – z₄₃ = 121 – 84 = 37 > 0.

Так как _ то переходим к формированию нового плана.

3. Построим новый опорный план.

Для его построения строится фрагмент опорного плана (рис. 7) относительно клетки   α, β т.к. потенциал в ней отрицательный δ₂₃ = δ_αβ < 0.





B2

B3

B2

B3

 

A2

18 20

56 *

 23<0

 

A2

18 19

56 1





A3

10 2

100 1





A3

10 3

100 *



а

б

Рис. 7. Фрагменты плана:

а – фрагмент опорного плана; б – фрагмент нового плана

4. Определим значение целевой функции по новому плану (рис. 8).

		B				a
		B1	B2	B3	B4
	A1	70 *	38 *	24 14	92 *	14
A	A2	58 *	18 19	56 1	72 *	20
	A3	19 23	10 3	100 *	30 *	26
	A4	3 7	36 *	121 *	8 34	41
b		30	22	15	34

Рис. 8. Представление нового плана в форме матрицы

Суммарные затраты по новому плану:

Y₁= 14·24+19·18+1·56+23·19+3·10+7·3+34·8=1494 (усл. ед.).

Прежнее значение суммарных затрат составляло 1546 (усл. ед.).

Рассчитаем процент улучшения опорного плана:

 100%   

Проведем второй шаг оптимизации.

1. Составим и решим систему уравнений (1)

u₁ + v₃ = 24 = c₁₃;

u₂ + v₂ = 18 = c₂₂;

u₂ + v₃ = 56 = c₂₃;

u₃ + v₁ = 19 = c₃₁;

u₃ + v₂ = 10 = c₃₂;

u₄ + v₁ = 3 = c₄₁;

u₄ + v₄ = 8 = c₄₄.

При u₂ = 0, получим решение v₁  27; v₂  18; v₃  57 v₄  32 u₁  –32 u₂  0 u₃  –8 u₄ –24

2. Определим значения z_ij для клеток, в которые ресурсы не распределены.

z₁₁ = u₁ + v₁ = –32 + 27 = –5;

z₁₂ = u₁ + v₂ = –32 + 18 = –14;

z₁₄ = u₁ + v₄ = –32 + 32 = 0;

z₂₁ = u₂ + v₁ = 0 + 27 = 27;

z₂₄ = u₂ + v₄ = 0 + 32 = 32;

z₃₃ = u₃ + v₃ = –8 + 56 = 48;

z₃₄ = u₃ + v₄ = –8 + 32 = 24;

z₄₂ = u₄ + v₂ = –24 + 18 = –6;

z₄₃ = u₄ + v₃ = –24 + 56 = 32.

3. Определим значения _ij и проверим условие оптимальности _.

δ₁₁ = с₁₁ – z₁₁ = 70 – (–5) = 75 > 0;

δ₁₂ = с₁₂ – z₁₂ = 38 – (–14) = 52 > 0;

δ₁₄ = с₁₄ – z₁₄ = 92 – 0 = 92 > 0;

δ₂₁ = с₂₁ – z₂₁ = 58 – 27 = 31 > 0;

δ₂₄ = с₂₄ – z₂₄ = 72 – 32 = 40 > 0;

δ₃₃ = с₃₃ – z₃₃ = 100 – 48 = 52 > 0;

δ₃₄ = с₃₄ – z₃₄ = 30 – 24 = 6 > 0;

δ₄₂ = с₄₂ – z₄₂ = 36 – (–6) = 42 > 0;

δ₄₃ = с₄₃ – z₄₃ = 121 – 32 = 89 > 0.

Так как все _ij > 0, то данный план является оптимальным.

Окончательно представим оптимальный план перевозок (рис. 9, 10).

Рис. 9. Оптимальный план перевозок в форме графа

		B				a
		B1	B2	B3	B4
	A1	70 *	38 *	24 14	92 *	14
A	A2	58 *	18 19	56 1	72 *	20
	A3	19 23	10 3	100 *	30 *	26
	A4	3 7	36 *	121 *	8 34	41
b		30	22	15	34

Рис. 10. Оптимальный план перевозок в форме матрицы

Таким образом, в пояснительную записку к расчетному заданию по теме: «Имитационные математические модели» должны входить следующие пункты.

1. УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

   1. Проверка на сбалансированность

   2. Исходные данные транспортной задачи в форме графа

   3. Исходные данные транспортной задачи в матричной форме

2. ПОСТРОЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА

   1. Построение опорного плана методом аппроксимации Фогеля

   2. Расчет приведенных затрат

3. ПРОВЕРКА ОПОРНОГО ПЛАНА НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ

   1. Решение системы уравнений

   2. Определение значений потенциалов _ij.

4. ПОСТРОЕНИЕ УЛУЧШЕННОГО ПЛАНА

4.1. Перераспределение ресурсов методом потенциалов

4.2. Расчет приведенных затрат

4.3. Второй шаг оптимизации

…

4.n. n-ый шаг оптимизации

5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА В ФОРМЕ МАТРИЦЫ И ГРАФА