19

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К РАСЧЕТНОЙ РАБОТЕ

по курсу:

«Основы CALS-технологий»

Тема:

ИМИТАЦИОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Транспортная задача

Вариант ____

Студент ________________

Группа ________________

Преподаватель: _______________

МОСКВА 2016 г.

ЗАДАНИЕ

для выполнения расчетной работы

Тема: ИМИТАЦИОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Транспортная задача

Задание ХХ

Заготовительный цех состоит из четырех участков и за месяц изготавливает 101 единицу продукции (заготовок). Эти участки заготовительного цеха могут изготовить в течение месяца (14, 20, 26, 41) заготовок соответственно. Далее продукция заготовительного цеха поступает в механические цеха на обработку. На заводе имеются четыре механических цеха, которые используют данные заготовки в изготовлении деталей. Каждый из механических цехов за месяц может изготовить (30, 22, 15, 34) деталей соответственно. Также известна зависимость себестоимости изделия от взаимосвязи цехов в технологическом маршруте изготовления (см. таблицу).

‑70	‑58	‑19	‑3
‑38	‑18	‑10	‑36
‑24	‑56	‑100	‑121
‑92	‑72	‑30	‑8

В таблице используются следующие обозначения:

_i  участки заготовительного цеха (i = 1,4); _j  механические цехи (j =1,4); _i–__j  себестоимость межцеховой взаимосвязи в технологическом маршруте производства изделия.

Необходимо:

1. Определить оптимальную загрузку цехов (т.е. такую загрузку, при которой все участки и цехи работают с максимальной производительностью и себестоимость минимальна).

2. Составить граф оптимальной взаимосвязи заготовительных участков и механических цехов в технологическом маршруте изготовления данного изделия.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………….…ХХ

1. УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ …………………………….………………….…ХХ

1.1. Проверка на сбалансированность ……………...…………….…..…ХХ

1.2. Исходные данные транспортной задачи в форме графа .…….…...ХХ

1.3. Исходные данные транспортной задачи в матричной форме ..…..ХХ

2. ПОСТРОЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА ……….……..…………….….ХХ

2.1. Построение опорного плана методом аппроксимации Фогеля ….ХХ

2.2. Расчет приведенных затрат …………………………………………ХХ

3. ПРОВЕРКА ОПОРНОГО ПЛАНА НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ ……...ХХ

3.1. Решение системы уравнений …………….………..………………..ХХ

3.2. Определение значений потенциалов _ij ….……………….………..ХХ

4. ПОСТРОЕНИЕ УЛУЧШЕННОГО ПЛАНА .……………………......ХХ

4.1. Перераспределение ресурсов методом потенциалов ……………..ХХ

4.2. Расчет приведенных затрат …………………….…………………..ХХ

5. ПРОВЕРКА УЛУЧШЕННОГО ПЛАНА НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ ..ХХ

5.1. Решение системы уравнений …………………………..…………...ХХ

5.2. Определение значений потенциалов _ij ……………………………ХХ

6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА В ФОРМЕ

МАТРИЦЫ И ГРАФА …………………….………..….……………..ХХ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ….…………………………….………..……………….ХХ

Введение

При проектировании больших кибернетических систем (сложных технических объектов) очень часто аналитические методы оказываются малопригодны из-за очень большой разности и сложности получаемых моделей.

Имитационные модели находят широкое применение при решении задач анализа, оптимизации, проектирования сложных систем, управления производством, технологическими процессами и т.д. Имитационное моделирование широко используется на различных этапах жизненного цикла сложных систем. Данная работа предназначена для практического освоения некоторых наиболее распространенных методов построения имитационных моделей и решения с их помощью производственных задач технологической подготовки производства аэрокосмической техники.

1. УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

1.1. Проверка на сбалансированность

Определим суммарные ресурсы в пунктах отправления по формуле a =14=20+26+41 = 101 и суммарные ресурсы в пунктах назначения по формуле b = 30+22+15+34+ = 101.

Так как общий объем производства (отправления) заготовок равен общему объему потребления (изготовления деталей) а = b, то задача является сбалансированной (закрытой).

1.2. Исходные данные транспортной задачи в форме графа

Исходные данные транспортной задачи в форме графа представлены на рис.1.

Рис. 1. Исходные данные транспортной задачи в форме графа

1.3. Исходные данные транспортной задачи в матричной форме

Исходные данные транспортной задачи в матричной форме представлены на рис. 2.

		B				a
		B1	B2	B3	B4
	A1	70	38	24	92	14
A	A2	58	18	56	72	20
	A3	19	10	100	30	26
	A4	3	36	121	8	41
b		30	22	15	34

Рис. 2. Исходные данные транспортной задачи в форме матрицы

2. Построение опорного плана

2.1. Построение опорного плана методом аппроксимации Фогеля

Построим опорный план методом Фогеля (рис. 3).

		B				a
		B1 (v1)	B2 (v2)	B3 (v3)	B4 (v4)		Столбцы разностей по строкам
	A1 (u1)	70 *	38 *	24 14	92 *	14	14	14	‑	‑	‑	‑
A	A2 (u2)	58 *	18 20	56 *	72 *	20	38	‑	‑	‑	‑	‑
	A3 (u3)	19 23	10 2	100 1	30 *	26	9	9	9	11	81	81
	A4 (u4)	3 7	36 *	121 *	8 34	41	5	5	5	5	118	‑
b		30	22	15	34
		16	8	32	22	ШАГ 1
		16	26	76	22	ШАГ 2
		16	26	21	22	ШАГ 3
		16	‑	21	22	ШАГ 4
		16	‑	21	‑	ШАГ 5
		x	‑	x	‑	ШАГ 6
		Строки разностей по столбцам

Рис.3. Опорный план перевозок

ШАГ 1

В соответствии с пунктом 1 алгоритма вычисляем разность в первой строке матрицы (рис. 3) между наименьшей себестоимость межцеховой взаимосвязи в технологическом маршруте производства изделия A₁B₃=24 и ближайшей к ней большей A₁B₂=38. Эту разность, равную 14, заносим в первый столбец разностей по строкам. Аналогичным образом определяем разности во второй, третьей и четвертой строках:

A₂B₃ – A₂B₂ = 56 – 18 = 38;

A₃B₁ – A₃B₂ = 19 – 10 = 9;

A₄B₄ – A₄B₁ = 8 – 3 = 5.

Заносим их в тот же столбец (см. рис. 3). Затем вычисляем разности в каждом столбце:

B₁A₃ – B₁A₄ = 19 – 3 = 16;

B₂A₂ – B₂A₃ = 18 – 10 = 8;

B₃A₂ – B₃A₁ = 56 – 24 = 32;

B₄A₃ – B₄A₄ = 30 – 8 = 22.

Результаты вычислений заносим в первую строку разностей по столбцам (см. рис. 3).

Далее в соответствии с пунктом 2 алгоритма находим максимальную из всех разностей как по строкам, так и по столбцам Р_max = max (14, 38, 9, 5, 16, 8, 32, 22) = 38 и обводим ее в матрице рамкой. Это означает, что оптимальным вариантом является технологический маршрут производства изделия от заготовительного участка (поставщика) A₂ к механическому цеху (потребителю) B₂. Если же изделия будут изготавливаться по другим технологическим маршрутам, то изготовление единицы продукции обойдется дороже не менее чем на 38 денежных единиц (минимальная сумма штрафа). Поэтому нужно стремиться к изготовлению максимального количества изделий по оптимальному маршруту A₂B₂ с целью обеспечения минимума штрафа.

Поставщик A₂ должен поставить потребителям 20 единиц продукции, о чем указано в столбце а матрицы, а потребитель B₂ должен принять от поставщиков 22 единицы заготовок (груза), о чем указано в строке b матрицы (см. рис. 2). Значит, можно все 20 единиц груза, являющиеся ресурсом поставщика (отправителя) A₂, направить потребителю B₂, которому останется получить от поставщиков еще Р_о = 22 – 20 = 2 единицы груза.

Разместив, в соответствии с этапом 3 алгоритма, в клетку A₂B₂, где находится наименьшая стоимость перемещения ресурсов для помеченной строки, максимально возможное количество ресурсов Р_max = 20, мы исчерпали все ресурсы отправителя в данной строке (A₂). Поэтому в оставшиеся клетки A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄ заносятся знак «*», они далее не принимаются во внимание, строка A₂ исключается из дальнейших расчетов, для чего во всех клетках данной строки ставятся прочерки (см. рис. 3).

ШАГ 2

В соответствии с этапом 4 алгоритма вычисляем разности по строкам, не принимая во внимание стоимости в клетке A₂B₂, имеющей ресурсы, и в клетках исключенной строки A₂ (A₂B₁, A₂B₃, A₂ B₄):

A₁B₂ – A₁B₃ = 38 – 24 = 14;

A₃B₁ – A₃B₂ = 19 – 10 = 9;

A₄B₄ – A₄B₁ = 8 – 3 = 5.

Эти разности заносим во второй столбец разностей по строкам.

В соответствии с этапом 4 алгоритма вычисляем разности по столбцам, не принимая во внимание стоимости в клетке A₂B₂, имеющей ресурсы, и в клетках исключенной строки A₂ (A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄):

B₁A₃ – B₁A₄ = 19 – 3 = 16;

B₂A₄ – B₂A₃ = 36 – 10 = 26;

B₃A₃ –B₃A₁ = 100 – 24 = 76;

B₄A₃ – B₄A₄ = 30 – 8 = 22.

Эти разности заносим во вторую строку разностей по столбцам (см. рис. 3).

Далее, в соответствии с этапом 5 алгоритма, находим максимальную из всех разностей, как по строкам, так и по столбцам Р_max = max (14, 9, 5, 16, 26, 76, 22) = 76 и обводим ее в матрице рамкой. Это означает, что оптимальным вариантом является маршрут перевозки груза к потребителю B₃ от поставщика A₁. Если же груз будет доставляться другими маршрутами, то перевозка единицы груза обойдется дороже, не менее чем на 76 денежных единиц (минимальная сумма штрафа). Поэтому нужно стремиться к перевозке максимального количества груза по оптимальному маршруту A₁B₃ с целью обеспечения минимума штрафа.

Поставщик A₁ должен поставить потребителям 14 единиц груза, о чем указано в столбце а матрицы, а потребитель B₃ должен принять от поставщиков 15 единиц груза, о чем указано в строке b матрицы (см. рис. 2). Значит, можно все 14 единиц груза, являющиеся ресурсом отправителя A₁, направить потребителю B₃, которому останется получить от поставщиков еще Р_о = 15 – 14 = 1 единицу груза.

Разместив в клетку A₁B₃, где находится наименьшая стоимость перемещения ресурсов для помеченного столбца, максимально возможное количество груза Р_max = 14, мы исчерпали все ресурсы отправителя (A₁). Поэтому в оставшиеся клетки строки A₁ (A₁B₁, A₁B₂, A₁B₄) заносятся знак «*», они далее не принимаются во внимание, строка A₁ исключается из дальнейших расчетов, для чего во всех клетках данной строки ставятся прочерки (см. рис. 3).

ШАГ 3

В соответствии с этапом 4 алгоритма вычисляем разности по строкам, не принимая во внимание стоимости в клетках A₂B₂ и A₁B₃, имеющих ресурсы, и клетках исключенных строк A₂ и A₁ (A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄, A₁B_1, A₁B₂, A₁B₄):

A₃B₁ – A₃B₂ = 19 – 10 = 9;

A₄B₄ – A₄B₁ = 8 – 3 = 5.

Эти разности заносим в третий столбец разностей по строкам.

В соответствии с этапом 4 алгоритма вычисляем разности по столбцам, не принимая во внимание стоимости в клетках A₂B₂ и A₁B₃, имеющих ресурсы, и клетках исключенных строк A₂ и A₁ (A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄, A₁B₁, A₁B₂, A₁B₄):

B₁A₃ – B₁A₄ = 19 – 3 = 16;

B₂A₄ – B₂A₃ = 36 – 10 = 26;

B₃A₄ – B₃A₃ = 121 – 100 = 21;

B₄A₃ – B₄A₄ = 30 – 8 = 22.

Эти разности заносим в третью строку разностей по столбцам (см. рис. 3).

Далее, в соответствии с этапом 5 алгоритма находим максимальную из всех разностей, как по строкам, так и по столбцам Р_max = max(14, 9, 5, 16, 26, 21, 22) = 26 и обводим ее в матрице рамкой. Это означает, что оптимальным вариантом является маршрут перевозки груза к потребителю B₂ от поставщика A₃. Если же груз будет доставляться другими маршрутами, то перевозка единицы груза обойдется дороже не менее чем на 26 денежных единиц (минимальная сумма штрафа). Поэтому нужно стремиться к перевозке максимального количества груза по оптимальному маршруту A₃B₂ с целью обеспечения минимума штрафа.

Поставщик A₃ должен поставить потребителям 26 единиц груза, о чем указано в столбце а матрицы, а потребитель B₂ должен принять от поставщиков еще две единицы груза, как это было определено при выполнении шага 1. Значит, можно только две единицы груза из 26, являющихся ресурсом отправителя A₃, направить потребителю B₂, чтобы полностью удовлетворить его потребности. В этом случае поставщику A₃ нужно будет отправить потребителям еще Р₀ = 26 – 2 = 24 единицы груза.

Разместив в клетку A₃B₂, где находится наименьшая стоимость перемещения ресурсов для помеченного столбца, максимально возможное количество груза Р_max = 2, мы исчерпали все ресурсы потребителя B₂. Поэтому в оставшуюся клетку столбца B₂ (A₄B₂) заносится знак «*», она далее не принимается во внимание, столбец B₂ исключается из дальнейших расчетов, для чего помечаются все клетки данного столбца прочерками (см. рис. 3).

ШАГ 4

В соответствии с этапом 4 алгоритма, вычисляем разности по строкам, не принимая во внимание стоимости в клетках A₂B₂, A₁B₃ и A₃B₂, имеющих ресурсы, клетках исключенных строк A₂, A₁ и столбца B₂ (A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄, A₁B_1, A₁B₂, A₁B₄, A₄B₂):

A₃B₄ – A₃B₁ = 30 – 19 = 11;

A₄B₄ – A₄B₁ = 8 – 3 = 5.

Эти разности заносим в четвертый столбец разностей по строкам.

В соответствии с этапом 4 алгоритма, вычисляем разности по столбцам, не принимая во внимание стоимости в клетках A₂B₂, A₁B₃ и A₃B₂, имеющих ресурсы, клетках исключенных строк A₂, A₁ и столбца B₂ (A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄, A₁B_1, A₁B₂, A₁B₄, A₄B₂):

B₁A₃ – B₁A₄ = 19 – 3 = 16;

B₃A₄ – B₃A₃ = 121 – 100 = 21;

B₄A₃ – B₄A₄ = 30 – 8 = 22.

Эти разности заносим в четвертую строку разностей по столбцам (см. рис. 3).

Далее, в соответствии с этапом 5 алгоритма, находим максимальную из всех разностей как по строкам, так и по столбцам Р_max = max(11, 5, 16, 21, 22) = 22 и обводим ее в матрице рамкой. Это означает, что оптимальным вариантом является маршрут перевозки груза к потребителю B₄ от поставщика A₄. Если же груз будет доставляться другими маршрутами, то перевозка единицы груза обойдется дороже не менее чем на 22 денежные единицы (минимальная сумма штрафа). Поэтому нужно стремиться к перевозке максимального количества груза по оптимальному маршруту A₄B₄ с целью обеспечения минимума штрафа.

Поставщик A₄ должен поставить потребителям 41 единицу груза, о чем указано в столбце а матрицы, а потребитель B₄ должен принять от поставщиков 34 единицы груза, о чем указано в строке b матрицы (см. рис. 2). Значит, можно 34 единицы груза, являющиеся частью ресурса отправителя A₄, направить потребителю B₄ и еще поставщикам останется направить Р₀ = 41 – 34 = 7 единиц груза.

Разместив в клетку A₄B₄, где находится наименьшая стоимость перемещения ресурсов для помеченного столбца, максимально возможное количество груза Р_max = 34, мы исчерпали все ресурсы потребителя B₄. Поэтому в оставшуюся клетку столбца B₄ (B₄A₃) заносится знак «*», она далее не принимается во внимание, столбец B₄ исключается из дальнейших расчетов, для чего во всех клетках данного столбца ставятся прочерки (см. рис. 3).

ШАГ 5

В соответствии с этапом 4 алгоритма, вычисляем разности по строкам, не принимая во внимание стоимости в клетках A₂B₂, A₁B₃ , A₃B₂, A₄B₄, имеющих ресурсы, клетках исключенных строк A₂, A₁ и столбцов B₂, B₄ (A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄, A₁B_1, A₁B₂, A₁B₄, A₄B₂, B₄A₃):

A₃B₃ – A₃B₁ = 100 – 19 = 81;

A₄B₃ – A₄B₁ = 121 – 3 =118.

Эти разности заносим в пятый столбец разностей по строкам.

В соответствии с этапом 4 алгоритма вычисляем разности по столбцам, не принимая во внимание стоимости в клетках A₂B₂, A₁B₃, A₃B₂, A₄B₄, имеющих ресурсы, клетках исключенных строк A₂, A₁ и столбцов B₂, B₄ (A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄, A₁B_1, A₁B₂, A₁B₄, A₄B₂, B₄A₃):

B₁A₃ – B₁A₄ = 19 – 3 = 16;

B₃A₄ – B₃A₃ = 121 – 100 = 21.

Эти разности заносим в пятую строку разностей по столбцам (см. рис. 3).

Далее, в соответствии с этапом 5 алгоритма, находим максимальную из всех разностей, как по строкам, так и по столбцам Р_max = max(81, 118, 16, 21) = 118 и обводим ее в матрице рамкой. Это означает, что оптимальным вариантом является маршрут перевозки груза к потребителю B₁ от поставщика A₄. Если же груз будет доставляться другими маршрутами, то перевозка единицы груза обойдется дороже не менее чем на 118 денежные единицы (минимальная сумма штрафа). Поэтому нужно стремиться к перевозке максимального количества груза по оптимальному маршруту A₄B₁ с целью обеспечения минимума штрафа.

Поставщик A₄ должен поставить потребителям еще семь единиц груза, как это было определено при выполнении шага 4.

Потребитель B₁ должен принять от поставщиков 30 единиц груза, о чем указано в строке: b матрицы (см. рис. 2). Значит можно семь единиц груза, являющиеся остаточной частью ресурса отправителя A₄, направить потребителю B₁ и ему останется получить от поставщиков еще Р₀ = 30 – 7 = 23 единицы груза.

Разместив в клетку A₄B₁, где находится наименьшая стоимость перемещения ресурсов для помеченной строки, максимально возможное количество груза Р_max = 7, мы исчерпали все ресурсы поставщика A₄. Поэтому в оставшуюся клетку строки A₄ (A₄B₃) заносится знак «*», она далее не принимается во внимание, строка A₄ исключается из дальнейших расчетов, для чего во всех клетках данного столбца ставятся прочерки (см. рис. 3).

ШАГ 6

В соответствии с этапом 4 алгоритма вычисляем разности по строкам, не принимая во внимание стоимости в клетках A₂B₂, A₁B₃ ,A₃B₂, A₄B₁, имеющих ресурсы, клетках исключенных строк A₂, A₁, A₄ и столбцов B₂, B₄ (A₂B₁, A₂B₃, A₂B₄, A₁B₁, A₁B₂, A₁B₄, A₄B₂, B₄A₃, A₄B₃):

A₃B₃ – A₃B₁ = 100 – 19 = 81.

Эти разности заносим в пятый столбец разностей по строкам.

Эти разности не могут быть вычислены, так как в столбцах B₁ и B₃ осталось только по одной свободной клетке. Эти столбцы исключаются из расчета (см. рис. 3).

Максимальная (она же единственная) разность Р_max = 81 обводится в матрице рамкой. Это означает, что оптимальным вариантом является маршрут перевозки груза к потребителю B₁ от поставщика A₃. Если же груз будет доставляться другими маршрутами, то перевозка единицы груза обойдется дороже не менее чем на 81 денежную единицу (минимальная сумма штрафа). Поэтому нужно стремиться к перевозке максимального количества груза по оптимальному маршруту A₃B₁ с целью обеспечения минимума штрафа.

Поставщик A₃ должен поставить потребителям еще 24 единицы груза, как это было определено при выполнении шага 3, а потребитель B₁ должен принять от поставщиков еще 23 единицы груза, как это было определено при выполнении шага 5. Значит, можно 23 единицы груза, являющиеся частью остаточного ресурса отправителя A₄, направить потребителю B₁, и поставщику останется еще направить потребителям Р₀ = 24 – 23 =1 единицу груза.

Разместив в клетку A₃B₁, где находится наименьшая стоимость перемещения ресурсов для помеченной строки, максимально возможное количество груза Р_max = 23, мы удовлетворили потребность потребителя B₁.

Разместив в клетку A₃B₃ оставшуюся часть ресурса поставщика A₃ (Р₀=1), мы полностью исчерпали его ресурсы и полностью удовлетворили потребности потребителя B₃, тем самым завершив расчет опорного плана.

В результате имеем план перевозок, представленный в таблице.

Поставщик	Потребитель	Кол-во единиц груза
A1	B3	14
A2	B2	20
A3	B1	23
A3	B2	2
A3	B3	1
A4	B1	7
A4	B4	34