19

В.М. Тристан, викладач Кременчуцького педагогічного училища ім. А.С. Макаренка

Доведення нерівностей за допомогою впорядкованих наборів чисел

Зміст

Вступ	…………………………………………………………………………………………… 4
Розділ 1 Основні поняття, опорні теореми
2.1 Визначення одномотонних (протилежно монотонних) наборів чисел									.........5
1.2 Теорема про нерівність для наборів з двох чисел								....………………………….6
1.3 Теорема про нерівність для наборів з трьох чисел								....………………………….7
1.4 Теорема про нерівність для наборів з n чисел							…………………………………….9
Розділ 2 Доведення нерівностей за допомогою перерозміщувальних нерівностей
2.1 Нерівність Чебишова і її наслідки				……………….…………………………………..12
2.2 Нерівність Коші та її використання					……………..…………………………………..14
2.3 Узагальнення методу для m наборів чисел, кожний з яких містить n елементів……………………………………………………………………………16
2.4 Створення нових нерівностей за допомогою перерозміщувальної нерівності та нерівностей Чебишова, Коші…………………………………….........................18
Висновки		………………………………………………….…………………………………...21
Список використаної літератури			…………………….…………………………………..22

Вступ

Довести нерівність – традиційно складне завдання, для розв’язання якого необхідно володіти як стандартними вміннями, які формуються у школі (тотожні перетворення, математична індукція, методи математичного аналізу), так і нестандартними, які не вивчаються за програмою школи. До останніх, на мою думку, слід віднести способи, пов’язанні з використанням властивостей впорядкованих наборів чисел (числових послідовностей). Цими способами можна швидко і ефективно довести нерівність, що важливо на конкурсах і олімпіадах. Ці методи досить прості і не вимагають спеціальної підготовки, як методи, пов’язані з використанням диференціального чи інтегрального числення, чи метод математичної індукції.

Досліджуючи доведення нерівностей за допомогою впорядкованих наборів чисел, я зрозумів, що дуже багато нерівностей можна довести цим способом. Найскладніше у розв’язанні – це знайти (дібрати) впорядковані набори чисел, потім використати опорні теореми. Особливий інтерес для мене мали нерівності, які були розв’язані іншими способами, оскільки я розв’язував їх, використовуючи одномонотонні послідовності і перерозміщувальні нерівності для цих послідовностей.

Серйозним відкриттям для мене стало доведення нерівностей Чебишова та Коші за допомогою методу, який я вивчив. Особливо мені сподобалося доведення нерівності Коші, яке серед спектру усіх доведень, на мою думку, - найкраще.

Розв’язавши багато задач на доведення нерівностей, я спробував створювати нові нерівності, починаючи з підбору впорядкованих (одномонотонних) наборів чисел. Така робота була цікавою і дала результат – нерівності, які можна пропонувати доводити на конкурсах і олімпіадах.

Подальша робота над вивченням способів доведення нерівностей з використанням числових послідовностей – це поєднання числових послідовностей з опуклими функціями з метою отримання нових способів доведення більш складних нерівностей.