5.1. Протокол Диффи-Хеллмана на эллиптических кривых

Протокол предназначен для совместной выработки секретного ключа с использованием открытого канала связи [6]. В основе протокола лежит трудность задачи дискретного логарифмирования на эллиптических кривых над конечным полем. Общими (и общедоступными) параметрами системы являются кривая E над конечным полем характеристики порядка 160 бит, порядок группы точек Q и точка эллиптической кривой P.

Каждый из двух абонентов A и B соответственно выбирают секретные ключи x и y.

При этом и

Далее абоненты обмениваются открытыми сообщениями:

A передает B: B передает A:

Противник, зная P, но не зная x и y, вынужден решать вычислительно сложную задачу дискретного логарифмирования на эллиптической кривой.

Далее абонент A вычисляет .

Абонент B вычисляет

Причем, из-за коммутативности операции умножения точки эллиптической кривой на скаляр k = k’.

Задача 5.3. Для заданной кривой E над конечным полем, ее точки P и порядка группы Q самостоятельно определить остальные параметры протокола Диффи-Хеллмана и осуществить совместную выработку симметричного сеансового ключа. Проверить совпадение ключей обоих абонентов. (При решении рекомендуется использовать программу на любом из языков программирования, реализующую сложение и удвоение точек кривой).

Дано: Q = 197, P(1, 76) x = 29, y = 153	Решение: .
Найти: [x]P,[y]P, k, k’ Проверить: k’ = k

5.2. Цифровая подпись ec-dsa

В целом схема аналогична классической DSA, но вместо вычислительно-затратной операции модульного экспоненцирования в конечном поле большой характеристики используется умножение точки на скаляр в аддитивной группе точек эллиптической кривой.

Каждый абонент системы генерирует секретный ключ

Открытый ключ Y представляет собой точку эллиптической кривой

Абонент, желающий подписать сообщение M, выбирает сеансовый ключ

Подпись представляет собой пару

- первая часть подписи, не зависящая от подписываемого сообщения. R служит для неявной передачи эфемерного ключа и из-за независимости от подписываемого сообщения может быть выработано заранее в фоновом режиме.

- вторая часть подписи, связанная с сообщением M.

Для проверки подписи необходимо вычислить два промежуточных параметра:

Подпись считается верной при выполнении равенства

Задача 5.4. Для заданной кривой E над конечным полем, ее точки P, порядка группы Q и открытого текста M самостоятельно определить остальные параметры схемы электронно-цифровой подписи EC-DSA и осуществить подписание сообщения. Проверить правильность цифровой подписи (при решении рекомендуется использовать программу на любом из языков программирования, реализующую сложение и удвоение точек кривой).

Пример решения [10]

Дано: Q = 197 P(x, y) = P(1, 76) M = 68, x = 29	Решение:
Найти: x, Y, k, R, S, A, B, R’ Проверить: R’ = R

Примеры листингов программ для решения задач 5.3, 5.4 приведены в прил. 2, 3.