15 Лекция. Фурье түрлендіруі және Фурье алгоритмдері
3. Фурье қатары
Анықтама.
Егер
функциясының анықталу облысындағы
тiң
кез келген мәнi ұшiн
теңдiгi орындалатындай бiр T саны бар
болса,
периодты функция; ал Т функ-цияның
периоды деп аталады.
Анықтама.
кесiндiсiнде
берiлген
функциясының периодты созындысы деп,
бұкiл сандар осiнiң
бойында анықталған,
кесiндiсiнде
функциясына айналатын және периоды
сол кесiндiнiң Ұзындығы
ге
тең
функциясын
айтады, яғни
.
Анықтама. Коэффициенттерi төмендегi Фурье формулаларымен
анықталатын
тригонометриялық қатар
функциясының Фурье қатары деп аталады.
МҰнда
функциясы
кесiндiсiнде анықталған және интегралданатын
функция.
Жұп функцияның
Фурье қатары
~
тұрiнде жазылады, мҰндағы
.
Тақ функцияның
Фурье қатары
~
тұрiнде жазылады, мҰндағы
.
Бұл формулалардан шығатын маңызды бiр
қорытынды сол, периоды
ге
тең кез келген интегралданатын
функциясын әрқашанда Фурье қатарына
жiктеуге болады.
“Жiктеуге болады”
дегендi тек берiлген
функциясы бойынша Фурье коэффициенттерiн
бiр мәндi анықтауға, демек, формальды
тұрде
функциясына сәйкес Фурье қатарын қҰруға
болады деген мағынада тұсiну керек.
Бұл
ұсыныс
былай өрнектеледi:
~
. Ал, бҰл жазылыс формуланың оң жағындағы
қатардың бiр қалыпты жинақтылығын
дәлелдегенде ғана (олай болу қатардың
тек
функциясына ғана жинақтылығын қамтамасыз
етедi) теңдiкке айналады.
Анықтама.
Егер
кесiндiсi саны шектi дербес кесiндiлерге
бөлiнiп, олардың әрбiр iшкi нүктелерiнде
функциясы бiркелкi болса, онда
функциясы
кесiндiсiнде бөлiктi-бiркелкi функция деп
аталады.
Теорема Дирихле.
Егер
функциясы
аралығында бөлiктi-бiркелкi және шектелген
болса, онда оның Фурье қатары сол аралықта
жинақты болады:
1) функцияның әрбiр
ұзiлiссiз
нүктесiнде қатардың қосындысы
функцияның сол нүктедегi
мәнiне
тең:
;
2) функцияның әрбiр
үзiлiс
нүктесiнде
3)
және
нүктелерiнде
.
Теореманың шарттарын қанағаттандыратын функцияны Дирихле шартын қанағаттандыратын функция дейдi.
Егер
функциясы
кесiндiсiнде анықталған және периоды
ге
тең периодты функция болса, оған Фурьенiң
мына қатары сәйкес келедi:
~
БҰл қатардың коэффициенттерi
формулалары бойынша есептеледi.
Егер
функциясы кесiндiсiнде жұп немесе тақ
функция болса, оған мына қатарлар сәйкес
келедi:
жұп болса
мҰндағы
тақ болса
мҰндағы
.
Ескерту.
1)
аралығында берiлген функцияны
аралығына жұп, не тақ тұрде созғанға
байланысты
функциясын Фурьенiң косинустар, не
синустар қатарына жұктеуге болады.
2)
аралығында берiлген функцияны
аралығына созғанға байланысты (сансыз
көп)
функциясын Фурье қатарына сансыз көп
әдiс бойынша жiктеуге болады.