Вариант 12

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д). .

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = sin²x; б) x = t²; y = t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,89, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

Задание 5.

Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

Задание 7.

Составить уравнения касательной и нормали к цитоиде , проведенных в точке, для которой

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² + 3xy + 2y² ; A (1; 3); B (1,03; 2,97).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = ln (x² + xy²); A (-1; 2); a (3; -4).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) ; в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Задание 14.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой ху = 1, ветвью параболы у = х², находящейся в первом квадранте, и прямой у = 4.

Задание 15.

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).

(х² + у²)² = 2а² (х² - у²).

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.

х = 0, у = 0, z = 0, x + у = 2, у = .

Задание 17.

Вычислить криволинейный интеграл

где С есть треугольник с вершинами в точках О (0; 0); А (1; 0); В (0; 1), пробегаемый против хода часовой стрелки.