Контрольная работа №1 «Дифференцирование» Вариант 1

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = x / (x²-1); б) x = cos (t / 2); y = t – sin t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,49, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f(x)=x³-12x+7; [0;3].

Задание 5.

Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б)

Задание 7.

Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² + xy + y² ; A (1; 2); B (1,02; 1,96).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = x² + xy + y² ; A (1; 1); a (2; -1).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) ; б) ; в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Задание 14.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3x² + 1 и прямой у = 3x + 7.

Задание 15.

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).

(х² + у²)³ = а² х² у².

Задание 16.

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.

z = 0, z = x, y = 0, y = 4, x = .

Задание 17.

Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги 1 окружности x = 5 cos t, y = 5 sin² t, обходя ее против хода часовой стрелки от точки А (5; 0) до точки В (0; 5). Сделать чертеж.