Министерство образования и науки Астраханской области
Государственное
автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Астраханский инженерно-строительный институт»
Кафедра высшей математики и информационных технологий
Учебно-методическое пособие
по
«Математическому анализу»
Для бакалавров
по направлению подготовки 080100 «Экономика»
заочное отделение 2 курс
Астрахань 2012
Учебно-методическое пособие написано в соответствии с утвержденной рабочей программой дисциплины «Математический анализ» и рекомендовано в качестве одного источников для изучения данного курса, а также для самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлению «Экономика» при их подготовке к контрольным работам, прохождению тестирования и сдаче зачета и экзамена.
В методических указаниях изложены основные понятия и теоремы математического анализа. Приведены типовые примеры, которые поясняют использование теоретических положений, и в дальнейшем используются для изучения специальных дисциплин. – Астрахань, 2012. - 94 с.
Утверждено на заседании кафедры ВМИТ АИСИ.
Протокол № 2 от 15 октября 2012г.
Согласовано с УМО АИСИ
«27» декабря 2012г.
Утверждено на МС направления
«Экономика»
Протокол № 3 от 22.02.2012г.
Составитель: Холодов Ю.В.: к.ф.-м.н., профессор кафедры ВМИТ
Рецензент: Садчиков П.Н. – к.т.н., доцент кафедры высшей математики и информационных технологий ГАОУ АО ВПО «Астраханский инженерно-строительный институт».
©Холодов Ю.В.
©ГАОУ АО ВПО «Астраханский инженерно-строительный институт»
Дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту или иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
Тогда
получаем:
- уравнение связывает функцию f(t)
с независимой переменной t
и производной второго порядка функции
f(t).
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.