Решение.

По условию m = 104, n = 400, p = 0,2, q = 1 – 0,2 = 0,8. Тогда ,

.

Интегральная теорема Лапласа.

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие Aпоявится в nиспытаниях от m₁ до m₂ раз, приближенно равна определенному интегралу:

=Ф(x₂) – Ф(x₁), , где ; .

Функция Ф(х) – функция Лапласа, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Функция Ф(x) нечетная: Ф(–x) = –Ф(x).

Пример3. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Решение.

а) По условию m₁ = 70, m₂ = 80. Тогда

, ,

В таблице даны значения Ф(1,15) = 0,3749 и Ф(1,16) = 0,3770. В качестве ответа можно взять любое из этих значений или их среднеарифметическое:

P₁₀₀(70;80)  2Ф(1,1547)  2(Ф(1,15) + Ф(1,16))/2 = 0,7519.

б) По условию m₁ = 0, m₂ = 70. Тогда

, x₂ –1,1547,

P₁₀₀(0;70) Ф(x₂) – Ф(x₁) = Ф(–1,1547) – Ф(–17,32) = Ф(17,32) – Ф(1,1547).

P₁₀₀(0;70)  0,5 – 0,37595 = 0,12405.

Список литературы:

1.Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012.-Глава 1, п.1.13., стр.70.

2.Калинина В.Н., Панкин В.Ф.Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин -М: Высш.шк., 2001.–Глава 4, §4.1 – 4.2, стр. 55.

Раздел 3. Дискретные случайные величины

Тема 3.1. Закон распределения дискретной случайной величины. Интегральная функция распределения.

Задание 8. Запись распределения ДСВ, заданной содержательным образом. – 1 ч.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

1. Выучите, что называют дискретной случайной величиной, какими функциями она задается.

2. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

3. Составить закон распределения ДСВ Х – число попаданий при трех выстрелах, если вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4.

4.Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

X	-2	2	5
P	0.5	0.3	?

Методические указания по выполнению работы:

Дискретнойназывают случайную величину, которая принимает отдельные, возможные значения с определенной вероятностью. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Пример.

1). Число появлений герба при трех бросаниях монеты: возможно 0; 1; 2; 3

2). Число самолетов, сбитых в воздушном бою: 0; 1; 2; …. N, где N – общее число самолетов.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Способы задания: табличный, аналитический, графический.

	X	x1	x2	…	xn	- возможные значения
	P	p1	p2	…	pn	- вероятность возможных значений

События x1, x2, …, xn - образуют полную группу, т.е. р1 + р2 + … + рn = 1.

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины X.

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е.

F(x) = P(X<x).

Геометрически: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.

Иногда вместо термина "Функция распределения" используют термин "Интегральная функция".

Пример 1. В коробке лежат 10шаров, 6 из которых белые, остальные – черные. Наугад вынимают 2 шара. Составьте закон распределения числа белых шаров.

Решение. Испытание – выбор двух шаров из 10 . Случайная величина Х - число выбранных белых шаров. Возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2.

Р(Х = 2) = , Р(Х = 1) = , Р(Х = 0) = .

Закон распределения:

Х	0	1	2
Р

Контроль: .

Пример 2. Построить график функции распределения дискретной случайной величины X заданной таблицей:

X	2	6	10
P	0,3	0,6	0,1

Список литературы:

1.Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012.-Глава 2, п.2.2.., стр.118.

2.Калинина В.Н., Панкин В.Ф.Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин -М: Высш.шк., 2001.–Глава 5, §5.1 – 5.2, стр. 64.