Задания для самостоятельной работы

Раздел 1. Элементы комбинаторики

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики. Задание 1. Расчет количества выборок заданного типа в заданных условиях. – 3 ч.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

1. Вычислить:

2. Вспомните, какие основные понятия комбинаторики существуют. Проанализируйте, чем отличаются размещении, перестановки и сочетания.

3.Сколькими способами можно выбрать старосту и зам.старосты из группы в 26 человек?

4. Есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами можно украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?

5. У людоеда в подвале томятся 25 пленников.

а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?

б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

6. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

7. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

8. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

9. Скольким количеством способов можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

10. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?

11. В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.

Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема:

Где n! = 1∙2∙3∙…∙( n – 1)∙ n.

Пример 1.Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,3,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз?

Решение: по формуле получаем: способов.

Пример 2.Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение. чисел.

Пример 3.Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

способов.

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012.-Глава 1, п.1.1., стр.15

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф.Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин -М: Высш.шк., 2001.–Глава 1, §1.2 – 1.4, стр. 11.

Раздел 2. Основы теории вероятностей

Тема 2.1. Случайные события. Понятие вероятности события. Задание 2. Изучение материала лекций по теме«Виды событий, алгебра событий».–1 ч.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

1. Изучите теоретический материал по теме «Случайное событие. Виды событий. Алгебра событий».

2. Являются ли несовместными следующие события:

а) Опыт - бросание монеты; события:

А₁ - появление герба; A₂ - появление цифры.

б) Опыт - бросание двух монет; события:

В₁ - появление герба на первой монете; B₂ - появление цифры на второй монете.

в) Опыт - два выстрела по мишени; события:

С₀ - ни одного попадания; С₁ - одно попадание; С₂ - два попадания.

г) Опыт - два выстрела по мишени; события:

D₁ - хотя бы одно попадание; D₂ - хотя бы один промах.

д) Опыт - вынимание двух карт из колоды; события

E₁ - появление двух черных карт; E₂ - появление туза; E₃ - появление дамы?

3. Являются ли равновозможными следующие события:

а) Опыт - бросание симметричной монеты; события:

A₁ - появление герба; А₂ - появление цифры.

б) Опыт - бросание неправильной (погнутой) монеты; события:

В₁ - появление герба; В₃ - появление цифры.

в) Опыт - выстрел по мишени; события:

С₁ - попадание; С₂ - промах.

г) Опыт - бросание двух монет; события:

D_l - появление двух гербов; D₂ - появление двух цифр;

D₃ - появление одного герба и одной цифры.

д) Опыт - вынимание одной карты из колоды; события:

E₁ - появление карты червонной масти; Е₂ - появление карты бубновой масти;

Е₃ - появление карты трефовой масти.

е) Опыт - бросание игральной кости; события:

F_l - появление не менее трех очков; F₂ - появление не более четырех очков?

Методические указания по выполнению работы:

Наблюдаемые нами события можно разделить надостоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Случайным называют событие, которое может произойти, либо не произойти, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Т.е. под случайным событием, связанным с некоторым опытом, будем понимать всякое событие, которое либо происходит, либо не происходит при осуществлении этого опыта.

Вместо слов «осуществлена совокупность условий» зачастую говорят «произведено испытание».

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Система событий образует полную группу для данного испытания, если любым исходом его является одно или только одно событие этой группы.

Возможные, исключающие друг друга, результаты одного испытания называются элементарными исходами испытания.

Исход испытания называется благоприятствующими некоторому событию, если в результате этого исхода появляется указанное событие.

События называются равновозможными, если нет оснований считать одно из них более или менее возможным, чем остальные.

СуммойА + В событий называется событие, состоящее в том, что в результате опыта наступит или событие А, или событие В, или оба вместе. ( Другими словами, суммойА+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий):

Если событияА и В несовместны, то А + В – это событие А, или событие В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

ПроизведениемАВ событийА и В называется событие, состоящее в совместном появлении и события А, и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном появлении.

Событием, противоположным событиюА, называется событие, обозначаемое и состоящее в том, что в результате опыта событие А не наступит.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012.-Глава 1, п.1.4., стр.27.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф.Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин -М: Высш.шк., 2001.–Глава 2, §2.1 - 2.2, стр. 20.