2. Нахождение интервальной оценки вероятности события

Пусть р = – частота события, рассчитанная по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение вероятности Р(А) с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку (р-δ; р+δ), где

δ – точность оценки, находится по формуле: , п – объем выборки,

t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).

Пример 2. Из 300 случайным образом отобранных приборов 30 работают с перебоями. Найдите интервальную оценку вероятности события А – выбрать прибор с дефектом - с надежностью 0,95.

Решение. По условию = 0,95, п = 300, т = 30.

Тогда р = , р = 30/300 = 0,1.

По схеме нахождения интервальной оценки вероятности события

/2 = 0,9/2 = 0,45. По таблице значений функции Лапласа находим t=1,65.

Вычислим δ по формуле: . .

Получаем доверительный интервал :

0.1 – 0,029 <Р(А)< 0.1 + 0,029

0.071 <Р(А)< 0.129.

Полученный результат означает, что с надежностью 0,9 неизвестная вероятность появления прибора с дефектом принадлежит интервалу (0.071; 0.129).

Список литературы:

1.Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012.-Глава 3, п.3.5., стр.204.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин - М: Высш.шк., 2001. – Глава 9, §9.6 – 9.8, стр. 188.

Раздел 5. Основы математической статистики.

Тема 5.3. Статистическая проверка статистических гипотез. Задание 18. Проверка гипотезы о нормальном распределении.– 2 ч.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

1. Повторите алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении критерием согласия Пирсона.

2. Пользуясь критерием согласия Пирсона при уровне значимости 0,005, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

Эмп. частоты	14	18	32	70	20	36	10
Теор. частоты	10	24	34	80	18	22	12

Методические указания по выполнению работы:

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Ограничимся описанием применения критерия Пирсона и проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. С этой же целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические частоты (вычисленные в предположении нормального распределения).

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Случайно ли расхождение частот? Возможно, что расхождение случайно и объясняется малым числом наблюдений либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Критерий Пирсона отвечает на поставленный выше вопрос. Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данным наблюдением.

Пусть по выборке объемаn получено эмпирическое распределение:

варианты,			…
эмп.частоты,			…
теор.частоты,			…

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты . При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

.

Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее неизвестные значения. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределения.

Число степеней свободы находят по равенству k=s-1-r, где s – число групп (частичных интервалов) выборки; r – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение). Поэтому r =2 и число степеней свободы k=s-1-r =s-1-2=s-3.

Алгоритм применения критерия Пирсона.

1. Определяют теоретические частоты , соответствующие опытным частотам. Если среди опытных частот имеются малочисленные, то их необходимо объединить с соседними.

2. По формуле вычисляют величину .

3. Определяем число степеней свободы k= l-3, где l – число интервалов после объединения.

4. Находят уровень значимости , где – доверительная вероятность.

5.По таблице при заданных и находят значение , которое является критической точкой.

6. Если , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если , нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1.

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

Эмп. частоты	6	13	38	74	106	85	30	14
Теор. частоты	3	14	42	82	99	76	37	13

Рассчитаем , для чего составим расчетную таблицу

1	6	3	3	9	3
2	13	14	-1	1	0.07
3	38	42	-4	16	0.38
4	74	82	-8	64	0.78
5	106	99	7	49	0.49
6	85	76	9	81	1.07
7	30	37	-7	49	1.32
8	14	13	1	1	0.08
	366	366			7.19

Число степеней свободы определим по соотношению k=8–3=5 (в нашем случае s=8). По таблице критических значений при заданных и находим значение .

Так как , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Список литературы:

1.Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012.-Глава 3, п.3.6., стр.221.