Ч исловые характеристики вариационного ряда

Выборочное среднее -

Выборочная дисперсия - ,

Выборочное среднеквадратическое отклонение -

Для интервального вариационного ряда в качестве x_i выбирают середину соответствующего интервала.

Пример 1. 3а десять дней работы малое предприятие «Дюймовочка» получало дневную прибыль (в у.е.): 4, 5, 8, 5, 9, 3, 4, 3, 3, 3.

Составьте дискретный и интервальный вариационные ряды оценок и найдите числовые характеристики выборки. Постройте полигон и гистограмму частот.

Решение. Выполним ранжирование данных, т.е. расположим их в порядке возрастания: 3,3,3,3,4,4,5,5,8,9.

Составим дискретный вариационный ряд:

xi	3	4	5	8	9	∑
mi	4	2	2	1	1	10

В нашем примере полигон частот выглядит следующим образом:

Составим интервальный вариационный ряд. Зададим ширину интервала d. Пусть она равна 2. Интервальный вариационный ряд будет иметь вид:

xi	3-5	5-7	7-9	∑
mi	6	2	2	10

Построим гистограмму. Она будет состоять из трех прямоугольников, построенных на интервалах длиной d = 2 с высотамиm_i/d:

высота	гистограмма частот
h1	3
h2	1
h3	1

Найдем числовые характеристики выборки:

Для дискретного вариационного ряда

= .

Тогда 26.3 – (4.7)² = 4.21. .

Для интервального вариационного ряда в качестве x_i берут середину интервалов.

= ;

, 29.6 – (5.2)² = 2.56,

.

Список литературы:

1.Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012.-Глава 3, п.3.3., стр.194.

2.Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин - М: Высш.шк., 2001. – Глава 8, §8.1 – 8.6, стр. 132.

Раздел 5. Основы математической статистики.

Тема 5.2. Статистические оценки параметров распределения. Задание 17. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения и вероятности события – 2 ч.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

1.Дайте определение интервальной оценки. Рассмотрите алгоритмы нахождения интервальной оценки М(Х) при известной D(Х) нормального распределения и интервальной оценки вероятности события.

2.Изучение роста десятилетних мальчиков одной школы на основе случайной выборки объемом 23 мальчика показало, что их средний рост по выборке составляет 118 см с выборочным средним квадратическим отклонением 6см. Найдите 98%-ный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения, который характеризует рост всех десятилетних мальчиков московских школ.

3.Новый официант ресторана Иван Перепелкин решил выяснить, сколько в среднем чаевых за день получают официанты этого ресторана. Для этого он опросил 7 официантов, что составило малую часть работающих в ресторане официантов. На основе опроса выяснилось, что в среднем каждый из опрошенных получает 35 у.е. за день; выборочное среднее квадратическое отклонение оказалось равным 15 у.е. Определить доверительный интервал, который с уровнем доверия (надежностью) 98% накроет истинное значение средней суммы чаевых, получаемых официантом этого ресторана за день.

?16.3. Из 250 приборов 10 вышли из строя. Найдите интервальную оценку вероятности события А – прибор выйдет из строя - с надежностью 0,95.

Методические указания по выполнению работы:

Интервальнойназывают такую оценку параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение этого распределения - . Требуется оценить математическое ожиданиеа по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающийа с надежностью : ( - δ; + δ).

δ – точность оценки: , где п – объем выборки, σ – среднеквадратическое отклонение ,

t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).

Пример 1. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным среднеквадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания ожиданиеа по выборочной средней , если объем выборки и задана надежность оценки

Решение. Найдем : из соотношения 2Ф(t) = 0,95, получим Ф(t) = 0,475. По таблице приложения 2 находим t = 1,96.

По формуле , где t = 1,96, σ = 3, п = 36, найдем δ: .

Доверительный интервал имеет вид: :

4 - 0.98 <a< 4 + 0.98

3.02 <a< 4.98.

Полученный результат означает, что с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание а принадлежит интервалу (3.02; 4.98).