Раздел 3. Дискретные случайные величины
Тема 3.3. Законы распределения дсв. Задание 10. Запись распределения и вычисление характеристик для биномиальной и геометрической дсв. – 2 ч.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
1.Изучите биномиальное и геометрическое распределение ДСВ.
2. Вероятность закатить хотя бы один шар в лузу при одном ударе бильярдиста постоянна и рана 0,7. Если при ударе закатить шар не удается, право удара переходит к другому игроку. Какова вероятность, что бильярдист сделает не менее 4 ударов? Найдите числовые характеристики ДСВ.
3. Охотник-любитель стреляет из ружья по неподвижной мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле является величиной постоянной и равна 0,65. Стрельба по мишени ведется до первого попадания. Определить числовые характеристики.
Методические указания по выполнению работы:
1. Биномиальное распределение.
Если
производится n независимых испытаний,
в каждом из которых событиеА может
появится либо не появиться, причем
вероятность наступления события в
каждом испытании постоянна и равна p,
то закон распределения вероятностей
определяется формулой Бернулли:
,
которое называют биноминальным
распределением вероятностей.
Запишем биноминальный закон в виде таблицы:
X |
n |
n – 1 |
… |
k |
… |
0 |
Р |
pn |
npn-1q |
… |
|
… |
qn |
pkqn-k
,
Пример1.Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.
Решение. Вероятность появления шестерки при одном бросании p = 1/6, вероятность непоявления шестерки q = 1 – p = 5/6.
При
трех бросаниях игральной кости шестерка
может появиться либо 3 раза, либо 2 раза,
либо 1 раз, либо совсем не появиться.
Таким образом, возможные значения X
таковы: x1 = 0, x2 = 1,
x3 = 2, x4 = 3. Найдем
вероятности этих возможных значений
по формуле Бернулли:
.
,
,
,
.
Искомый закон распределения:
Х |
x1 |
x2 |
x2 |
x3 |
Р |
125/216 |
75/216 |
15/216 |
1/216 |
,
Геометрическое распределение.
Геометрический закон распределения имеет место в таких науках как микробиология, генетика, физика. На практике эксперимент или опыт осуществляют до первого появления успешной события А. Число проведенных попыток будет целочисленной случайной величиной 1,2,.... Вероятность появления события А в каждом опыте не зависит от предыдущих и составляет p, q=1-p. Вероятности возможных значений случайной величины Х определяется зависимостью
,
В табличной форме геометрический закон распределения имеет вид
X |
1 |
2 |
… |
k |
… |
P |
p |
pq |
… |
|
… |
,
.
Пример
2.Проводится проверка большой партии
деталей до обнаружения бракованной без
ограничений числа проверенных деталей.
Составить закон распределения числа
проверенных деталей. Найти его
математическое ожидание и дисперсию,
если известно, что вероятность брака
для каждой детали равна 0,1.
Решение: Случайная величина Х – число проверенных деталей до обнаружения бракованной имеет геометрическое распределение с параметром p=0,1. Ряд распределения имеет вид
Хi |
1 |
2 |
3 |
… |
k |
… |
pi |
0,1 |
0,09 |
0,081 |
… |
0,9k-10,1 |
… |
М(Х)=
,
D(X)=
.
Пример 3. Построить граф распределения для числа подбрасывания монеты до появления "герба".
Решение. Пусть с.в. X= {число подбрасываний монеты до появления "герба"}. Тогда искомый граф распределения с.в. выглядит следующим образом:
Список литературы:
1.Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012.-Глава 2, п.2.2.-2.3., стр.118.
2.Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин - М: Высш.шк., 2001. – Глава 6, §6.3, стр. 111.