5.3 Законы коммутации

Каждому состоянию электрической цепи соответствует запас энергии электрического и магнитного полей. В соответствии с законом сохранения энергии при переходе цепи от одного состояния к другому энергия не может измениться скачком. Это объясняется конечной скоростью распространения электромагнитной энергии.

На основании закона сохранения энергии запишем выражения для магнитной энергии катушки индуктивности и электрической энергии конденсатора:

W_м ( -0 ) = W_м ( +0 ); W_Э ( -0 ) = W_Э ( +0), (5.12 )

где W_м ( -0 ), W_Э ( -0 ) - значения энергии , запасенной в магнитном и электрических полях непосредственно перед коммутацией.

Выразим энергию магнитного и электрического полей через ток катушки i_L индуктивности и напряжения u_c на конденсаторе:

, . ( 5.13)

В случае постоянной индуктивности L= const и емкости C =const

цепи выражения (5.13) принимают вид :

, . (5.14)

Запишем закон сохранения энергии с учетом выражений (5.14).

, . (5.15)

На основании выражений (5.15) сформулируем законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток катушки индуктивности в начальный момент времени после коммутации равен току катушки непосредственно перед коммутацией. Значит в момент коммутации ток катушки индуктивности не может измениться скачком:

i_L(-0) = i_{L (+0)}.

Второй закон коммутации: напряжение на конденсаторе в начальный момент времени после коммутации равно напряжению на конденсаторе непосредственно перед коммутацией. Значит напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком:

u_C(-0) = u_{C (+0)}.

5.4 Общая методика расчета переходных процессов

классическим методом

5.4.1 Методы составления характеристического уравнения

5.4.1.1 Составление характеристического уравнения

по законам Кирхгофа

Рисунок 5.1

Обозначим положительные направления токов в ветвях. Составим систему уравнений для мгновенных значений для схемы, полученной после коммутации: (5.16)

Решим систему уравнений относительно выбранной переменной. В качестве переменной рекомендуется выбрать ток катушки индуктивности или напряжение конденсатора, так как для этих переменных можно использовать законы коммутации.

В качестве искомой переменной выбирается ток i₂ катушки индуктивности. Преобразуем исходную систему уравнений относительно тока i₂.

Для этого из первого уравнения выразим ток i₁ = i₂ +i₃ и подставим во второе уравнение:

. (5.17)

Из полученного уравнения выразим ток i₃ :

, (5.18)

и подставим в третье уравнение, где вместо напряжения u_c на конденсаторе представим его выражение через ток конденсатора i₃

,

. (5.19)

Продифференцируем полученное уравнение и преобразуем его.

, (5.20)

. (5.21)

Полученное уравнение в общем виде имеет своим решением ток, состоящий из двух слагаемых:

i ₂ = i _{2 вын} + i _{2 св} , (5.22а)

где i_2вын - вынужденная составляющая тока, которая определяется параметрами цепи и действием источника энергии;