5.2 Математические основы анализа переходных процессов

Электрическая цепь, в которой происходит переходный процесс, описывается уравнениями, составленными по законам Кирхгофа либо по методу контурных токов. Описание осуществляется для цепи, получившейся после коммутации. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа наряду с токами резисторов и катушки индуктивности необходимо учитывать ток конденсатора. Этот ток определяется выражением

.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа наряду с падениями напряжений на резисторах, конденсаторе необходимо учитывать и падение напряжения на катушке индуктивнисти в виде

.

После составления системы уравнений, описывающей электрическую цепь, производится ее решение относительно выбранной переменной. В качестве искомой переменной рекомендуется выбирать ток i_L катушки индуктивности либо напряжение u_c конденсатора.

В результате решения получается дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами вида

, (5.1)

или

, (5.2)

где a_n (b_n), a_n-1 (b_n-1), … , a₀ (b₀) – постоянные коэффициенты, зависящие от

вида схемы и ее параметров ;

f(t) – внешнее воздействие на цепь.

Из математики известно, что полное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами находят в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения:

i_L = i_Lвын + i_Lсв, u_C = u_Cвын + u_Cсв. ( 5.3 )

Поскольку в правой части дифференциальных уравнений (5.1, 5.2), описывающих электрическое состояние цепи, обычно находится напряжение (или ток) источника (внешняя вынужденная сила), то частное решение находят из анализа установившегося режима после коммутации. Поэтому этот режим называют принужденным (вынужденным) или установившимся и соответственно токи и напряжения, найденные в этом режиме – принужденными.

Для нахождения вынужденной составляющей переменной, относительно которой составлено дифференциальное уравнение (5.1 и 5.2) в случае действия источника постоянного напряжения или тока достаточно приравнять к нулю все производные в уравнении (5.1 или 5.2 ). Из преобразованного уравнения выразить вынужденную соответствующую тока (напряжения).

Для определения выражения для свободной составляющей переменной

i_Lсв (u_cсв) составляется однородное дифференциальное уравнение, которое получается из (5.1) или (5.2) путем "освобождения " его от правой части. Физически это означает, что исследуемая цепь "освобождается" от внешней вынужденной силы.

Свободные составляющие токов и напряжений цепи являются результатом действия внутренних источников схемы: ЭДС самоиндукции, возникающих в катушках, и ЭДС конденсаторов, когда те и другие не уравновешены внешними источниками.

Из курса математики известно, что вид решения однородного линейного дифференциального уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение получается при замене , где  - это корень характеристического уравнения.

После составления характеристического уравнения и подстановки численных данных определяются его корни. В зависимости от числа и вида корней записывается в общем виде алгоритм решения (известный из курса математики). Возможны следующие виды корней и соответсвующие им решения:

1. ₁, ₂,,  _n - разные вещественные корни, где n – число корней;

, (5.4)

, (5.5)

где А₁, А₂ ,… , А_n ; B₁, B₂,… , B_n - постоянные интегрирования.

2. Среди n - вещественных корней есть пара равных корней ₃ = ₄.

i _Lсв = A₁e^1t + A₂e^2t + A₃e^3t + A₄te^4t + … + A_ne^nt , (5.6)

u _{с св} = B₁e^1t + B₂e^2t + B₃e^3t + B₄e^4t + … + B_n e^nt . (5.7)

3. Среди n - корней есть пара комплексных корней ₁ = +j₀, ₂ = j₀.

, (5.8)

U_{c св} , (5.9)

или

i _{L св} , (5.10)

U_{c св} . (5.11)

Постоянные интегрирования А_1, А₂ , … , А_n , В₁ ,В₂ , … , В_n и угол определяются из начальных условий.

Начальными значениями токов и напряжений называются их значения при t= –0 . Момент времени при t=+0 определяет время непосредственно после коммутации.