Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Цифровая обработка сигналов и изображений

Файл:

43-48

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

742.28 Кб

Скачать

☆

43 Вычисление периодогр. оценок спектральн. плотн. мощности дискретных случайных сигналов: метод Барлета.

Периодограммная функция определяется для последовательности отсчетов {x[0], x[1], …, x[N – 1]}

как оценка СПМ→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

N 1

Функция спектральной плотности мощности (СПМ)

S xxPER ( f )

X ( f )

x[n]e j 2 fn

n 0

Sxx( f )

Sxx ( f ) rxx (k)e j 2 fk

имеет частотный диапазон f (– , )

для

непрерывных

сигналов и

f ( -0,5 ; 0,5) – для дискретных сигналов.

• Спектр мощности стац. процесса : →→→→→→→→→→→→→→→→→

•

Px e j rx (k)e jk

x(n k)x*

•

Эргодический процесс : →→→→→→

rx (k) lim

(n)

2N 1 n N

•

Выборка

данных –прямоугольное

окно

•N число выборок

–

wR(n) прямоугольное окно

xN (n) wR (n) x(n)

)

Pper

X N

)

Оценка спектра

При увеличении числа выборок оценка должны приближаться к истинному спектру

Модифицированная периодограмма

Совмещение окна данных с общим окном : -Смещение→→→

M Pmod (e

)

) *

W (e

)

2 N Ew

Дисперсия→→→→→→

Var Pmod

) Px (e

)

Cbw

–

Разрешение→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

–Cbw = 0.89 прямоугольное, 1.28 Bartlett, 1.30 Hamming

Усредненная периодограмма

Деление данных на не перекрывающиеся блоки

•

K 1

L 1

–

K блоков длины L, т.о. N = K L

)

x(n iL) e

–

Среднее K периодограмм по L выборок

N i 0

n 0

Модифицированная усредненная периодограмма Деление последовательности на перекрывающиеся блоки

-K блоков длины L, сдвиг D: N = L + D (K - 1)

-Среднее K модифицированных периодограмм по L выборок каждая

-Уменьшении дисперсии

K 1

L 1

)

w(n) x(n iD) e

Свойства периодограмм: ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

P (e

K L Ew i 0

n 0

1. Смещение периодограммы можно оценить из выр-я

F ( f ) sinc2 ( f ) Фурье преобр-е треугольного окна(Барлетта).

M{S PER ( f )} F ( f ) S

( f )

2. Периодограмма асимптотически не смещена, но сглажена для конечных интервалав анализа. 3 При N периодограмма не сжимается и следовательно не является состоятельной в статистическом смысле функцией.

4. Эмпирически разрешающую способн. по частоте можно оценить велич. (1/N) циклов на отсчет. 5. Периодограмма не эффективный инструмент анализа непрерывных спектров или близко расположенных по частоте гармонических сигналов.

6.Применение периодограммы дает хороший результат оценки частот одиночных или широко расположенных по частоте гармонических сигналов

Метод усреднения Барлетта – треугольное окно:

•Исходная последовательность x[n] делится на K = L/M не перекрывающихся сегментов x0[n], x1[n], … , xK-1[n].

Алгоритм периодограммной оценки СПМ. (В ВОПРОСЕ 44)

44 Вычисление периодограммных оценок : метод Уэлча.

НАЧАЛЬНАЯ ИНФА(свойства и т.д.) (В ВОПРОСЕ 43 )

Алгоритм периодограммной оценки СПМ

1. Исходная реализация , содержащая N отсчетов, разбивается на

P перекрывающихся

участков

x(i) (m) x(m (i 1)MC ))

ent=цел. часть от деления

P ent{(N M ) /(M (1 C))} 1

MC M ent{M C}

2. Центрирование сигнала на каждом участке:

x (i) (m)

x(i) (m) M

(i)

M 1

M x (i)

(i) (m)

M x (i) =среднее значение сигнала на i-ом участке реализации.

M m 0

3. Взвешивание сигнала функцией окна

x(i) (m) w(m)x (i) (m),

m 0, , M 1

M 1

рассчитывается энергия окна

w(m)

m 0

4. Для каждого участка реализации с использованием ДПФ вычисляется периодограмма

Оценка СПМ формируется путем усреднения значений периодограммы

M 1

Scxx (k)

xw(i) m exp j2 km/ M

PU i 1

m 0

Метод Уэлча.

Использует перекрытые сегментов последовательности

если сегменты перекрываются на 50 %, тогда дисперсия уменьшается почти в 2 раза по сравнению с методом Барлетта, поскольку происходит удвоение числа сегментов

45 Алгоритмы вычисления автокорреляционной и взаимно корреляционной функций дискретных сигналов с помощью ДПФ (БПФ)

Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются интегральными преобразованиями анализируемых сигналов, логично предположить что эти характеристики как-то связаны друг с другом. Для выявления этой связи подвергнем взаимную корреляционную функцию преобразованию Фурье, считая, что сигналы s1(t) и s2(t) имеют спектральные функции S1(w) и S2(w):

Полученный результат очень прост. ВКФ связана преобразованием Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов. Взаимный спектр S12(w) для сигналов s1(t) и s2(t) представляет собой произведение их спектральных функций одна из которых подвергнута комплексному сопряжению:

Отсюда можно сделать очень важный вывод: если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах, а значит, равна нулю и их ВКФ при любых временных сдвигах . Таким образом,сигналы с неперекрывающимися спектрами являются некоррелированными.

Приняв s1(t)=s2(t)=s(t) получаем аналогичный результат для КФ:

Итак, КФ сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектральной функции, или с энергетическим спектром сигнала.

Отсюда еще один важный факт: КФ сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно сигналы, амплитудные спектры которых одинаковы, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую КФ. Еще одно следствие заключается в том, что по КФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же из за утраты инфо о фазе).

Из конспекта:

Свертка (корреляция) последовательностей

N 1	j (2		)kn	N 1	j (2		)kn
X p k xp [n]e	j (2	N	)kn	H p k hp [n]e	j (2	N	)kn
X p k xp [n]e				H p k hp [n]e

n0				n0

Периодическая корреляция через ДПФ

•ПВКФ

N 1

r[n] x[l]h*[n l]

l 0

• еѐ спектральное отображение

R k H * k X k

46 КИХ фильтр: проектирование по идеальной импульсной характеристики и функции

окна

Пример : ФНЧ, Идеальная АЧХ ФНЧ→→→


	1		C	←
	1		C
Hd	( )	C
Hd	( )
	0
	0

Следовательно идеальная ИХ =	h [k]		1	H		(e j ).e j
	d				d
			2


	.	sin( c k)				k
	.	c k				k
		c k

.k d ..

				hd [k]		N / 2 k N / 2
Усечение hd[k] до N+1 выборок :			h[k]
Усечение hd[k] до N+1 выборок :				0		в остальных случаях
Дополнение (групповой) задержкой для выполнения условия каузальности
Прямоугольное окно
Прямоугольное окно	h[k] hd	[k].w[k]				1	N / 2 k N / 2
	h[k] hd	[k].w[k]				1	N / 2 k N / 2
					w[k]
					w[k]
+ простота					0		в остальном диапазоне

- проявление эффекта Гиббса – большие боковые лепестки Свойства модулированного сигнала в частотной области

Модулированный сигнал h[k] hd [k].w[k]

Свертка (фильтрация) в частотной области с W(z) H (z) Hd (z) *W (z)

•Окна кандидаты : Хан(Han),Хэмминг ( Hamming), Блакман (Blackman), Кайзер ( Kaiser),….

•Выбор окна = компромисс между уровнем боковых лепестков (пульсации) и шириной основного , главного лепестка АЧХ (определяет разрешающую способность по частоте)

47 Функции Уолша, быстрое преобразование Уолша-Адамара

В основе функций Уолша - Адамара лежат ортогональные бинарные матрицы Адамара

которые определяются по простому		1	1				1	1	1
правилу: →→→→→→→→	H2
правилу: →→→→→→→→	H2
		1	1		H 2	H 2	1	1 1
				H 4
				H 4			1	1	1
					H 2	H 2	1	1	1
Рассматривая элементы матриц Адамара как								1	1
отсчеты непрерывных меандровых сигналов, можно получить функции							1	1	1

Уолша - Адамара {had (k,t)}.

HN,

Матрица дискретных функций Уолша - Адамара {had (k, n)}, t					=		n t примет
вид:→→→→→→→→→→→→→→→→→→
вид:→→→→→→→→→→→→→→→→→→			H 4	H 4			had 0, n
			H 4	H 4			had 0, n
		H8		had (k, n)				had 1, n
			H 4	H 4				had 1, n
							had 2, n





							had N 1, n
Введем двоичное представление номера функции ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓


	r 1			n0 , n1,.., nr 1
	n n j		2 j	n0 , n1,.., nr 1
	j 0
и двоичное представление номера отсчета→

	r 1			k0 , k1,.., kr 1
	r 1
	k k j		2 j			k
	j 0


Тогда функции Уолша - Адамара можно определить как: →→→→→→					had		n k
					had	k, n 1
	n 1
	n 1
nk	nj k j	→скалярное	произведение	векторов кодов номеров			функции	и
	j 0	отсчета, соответственно.
	j 0

Например, пусть n 3 0 1 1,			k 2 0 1			1 1	1 0 1 и
Например, пусть n 3 0 1 1,			k 2 0 1	0 , тогда nk 0 0		1 1	1 0 1 и

элемент матрица с координатами (3,2) равен →→→had(2,3)= 1 1 1.

В основе БПУ лежит свойство расщепления матрицы Адамара.

Быстрое преобразование Уолша аналогично, БПФ. Однако БПУ не требует применения умножения на поворачивающие множители. БПУ так же производится с прореживанием по времени или с прореживанием по частоте. Так, при прореживании по частоте исходная последовательность также разделяется сначала на две половины, потом каждая из половинок тоже делится пополам и т.д., до получения преобразования размера два.

Для БПУ справедливы графы БПФ с отсутствием множителя W k .

Быстрое преобразование Уолша обладает минимальной вычислительной сложностью, которая оценивается в N log 2 N операций сложения.

48 Вычисление Z-преобразование с помощью преобразования Фурье.

Дискретное во времени преобразование Фурье (ДВПФ):

F x[n] X ( н ) X (e jн ) x[n]e jнn

Z-преобразование:

X (z) x[n]zn

ДВПФ = Z-преобразованию в точках z e j н :

F x[n] X (z) z e j н

z 1 e j T

z e j н круг единичного радиуса

Связь преобразования Фурье с Z-преобразованием (Солонина А.И.)

При условии абсолютной сходимости соответствующих рядов фурье – изображение X(e^jwT) последовательности x(nT) совпадает с ее z-изображением X(z),если область значений переменной z на

комплексной плоскости ограничена точками на единичной окружности e^jwT:

X(e^jwT)=X(z) |z=e^jwT

Соседние файлы в папке pdf

#
15.06.2014310.75 Кб2339.pdf
#
15.06.2014143.84 Кб234.pdf
#
15.06.2014249.78 Кб2340.pdf
#
15.06.2014195.44 Кб2341.pdf
#
15.06.2014145.54 Кб2442.pdf
#
15.06.2014742.28 Кб2343-48.pdf
#
15.06.2014557.28 Кб2349-54.pdf
#
15.06.2014296.09 Кб2355.pdf
#
15.06.2014305.61 Кб2556.pdf
#
15.06.2014198.09 Кб2456_2.pdf
#
15.06.2014290.76 Кб2358.pdf