Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 38
.pdf38 БПФ по смешанному основанию
ДПФ последовательности x[n];n 0,..., N 1 , N = N1 N2 запишется в виде
|
N N |
1 |
X (k) |
1 2 |
x[n]W nk . |
|
|
N |
|
n 0 |
|
Представим входные n и выходные k индексы в смешанной системе |
||
счисления с основаниями N1 N2: |
|
|
n n2N1 n1; k k1N2 k2 , где n1, k1 0,..., N1 1, n2, k2 0,..., N2 1. |
||
Последовательности входных и выходных отсчетов преобразуются в двумерные массивы:
|
d[n1, n2 ] x[n2N1 n1] , n1 0,..., N1, n2 |
0,.., N2 1; |
|||||||||||||||
|
D(k1, k2 ) X (k1N2 k2 ) , k1 0,..., N1, k2 |
0,.., N2 1. |
|||||||||||||||
После подстановки алгоритм ДПФ представляется в виде |
|
||||||||||||||||
|
|
N1 1 N2 |
1 |
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
D(k1, k2 ) |
|
|
d[n1, n2 ]exp( |
(k1N2 k2 )(n2N1 n1)) |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
n1 0 n2 0 |
|
|
N1N2 |
|
|
|
|
(53) |
|||||||
|
N1 1 |
|
|
|
|
N2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
]exp( j2 k |
|
|
|
j2 k n ) |
|||||
|
exp( |
|
k |
n |
) |
d[n , n |
|
|
n |
|
) exp( |
||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 1 |
||||
|
n1 0 |
|
N1N2 |
|
|
n2 0 |
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
N1 |
|
Таким образом, исходное ДПФ оказалось сведенным к двум ДПФ, производимым над уменьшенными массивами. Алгоритм преобразования может быть представлен следующей трехэтапной схемой.
1.Для всех строк матрицы [d[n1, n2 ]] вычисляются N2 точечные ДПФ.
2.Каждый элемент полученной матрицы умножается на фазовый
множитель WNn1k2 .
3. Для всех столбцов матрицы, полученной на втором этапе, вычисляются N1 точечные ДПФ.
Алгоритм имеет инверсный порядок следования индексов в выходной последовательности из-за инверсии разрядов в позиционно-численном представлении индексов по смешанному основанию. Для сохранения естественного порядка следования отсчетов необходимо выполнить операцию обратной перестановки.
Описанный алгоритм предпочтительнее непосредственного прямого вычисления ДПФ, поскольку при этом требуется меньше арифметических операций.
Если числа N1 и N2 являются составными, то алгоритм БПФ применяется рекурсивно. При этом на каждом шаге рекурсии БПФ сокращает число операций.